Problema con Cauchy

Question

[attach]115752[/attach] Spiegare gentilmente i ragionamenti, i passaggi e argomentare.

cmc · Accepted Answer

a. La ODE è del tipo a variabili separabili. Applichiamo il metodo standard

Separare. $ \frac{dy}{y-2} = \frac{x}{x^2+1} dx $
Integrare. $ \int \frac{1}{y-2} dy = \int \frac{x}{x^2+1} dx \; ⇒ \; ln|y-2| = \frac{1}{2}ln\sqrt{x^2+1} + c $
Esplicitare. $ e^{ln|y-2|} = e^c \cdot e^{ln\sqrt{x^2+1}} \; ⇒ \; $

$ |y-2| = c \cdot e^{ln\sqrt{x^2+1}} $

$ y-2 = \pm c \cdot e^{ln\sqrt{x^2+1}} $ c è una generica costante reale

$ y-2 = c \cdot e^{ln\sqrt{x^2+1}} $

$ y-2 = c \cdot \sqrt{x^2+1} $

$ y(x) = 2+ c\sqrt{x^2+1} $

b. Problema di Cauchy

$ y(0) = 1 $

$ 2 + c = 1 \; ⇒ \; c = -1 $

La funzione che risolve il problema di Cauchy è $ y(x) = 2-\sqrt{x^2+1} $

cmc

(@cmc)

21742 punti

livello:

Livello 6

5226 Risposte
0 1838 219

16/06/2025 20:07