Problemi con Cauchy

λ^2 - 4·λ - 5 = 0  eq. caratteristica

(λ + 1)·(λ - 5) = 0

λ = 5 ∨ λ = -1

Integrale generale:

y = α·e^(5·x) + β·e^(-x)

y(0)=0:

0 = α·e^(5·0) + β·e^(-0)

α + β = 0

y'(x)=5·α·e^(5·x) - β·e^(-x)

y'(0)=18:

5·α·e^(5·0) - β·e^(-0) = 18

5·α - β = 18

Risolvo:

{α + β = 0

{5·α - β = 18

ottengo: [α = 3 ∧ β = -3]

y = 3·e^(5·x) - 3·e^(-x)

a. 

L'ODE è una lineare omogenea del secondo ordine a coefficienti costanti.

• Equazione differenziale. $ y$"$ - 4y'-5y = 0$
• Polinomio caratteristico. $ λ^2-4λ-5 = (λ+1)(λ-5) $
• Radici polinomio caratteristico.  $ λ_1 = -1; λ_2 = 5$
• Soluzione generale ODE. $ y(x) = c_1 e^{-x} + c_2e^{5x} $

b.  Problema di Cauchy.

Determiniamo la derivata prima della soluzione generale; ci servirà in seguito

$  y'(x) = 5c_2e^{5x} - c_1e^{-x} $

Si tratta di risolvere il sistema che si ottiene introducendo le coordinate nella soluzione generale 

• $ y(0) = 0 \; ⇒ \; c_1 + c_2 = 0 $
• $ y'(0) = 18 \; ⇒ \; 5c_2 - c_1 = 18 $

$ \left\{\begin{aligned} c_1 + c_2 = 0 \\ 5c_2 - c_1 = 18 \end{aligned} \right. $

La cui soluzione è $ c_1 = -3 \; ∧ c_ 2 = 3 $

La soluzione del problema di Cauchy è

$ y(x) = 3e^{5x} - 3 e^{-x} $