Integrale generale, equazioni differenziali

y'' + 3y' + 2y = 0

ha come integrale generale yo(x) = C1 e^(-x) + C2 e^(-2x)

Integrale particolare

y = Ax + B

0 + 3A + 2Ax + 2B = x + 2

2A = 1

3A + 2B = 2

A = 1/2

B = (2 - 3/2)/2 = 1/4

y(x) = C1 e^(-x) + C2 e^(-2x) + x/2 + 1/4

ODE lineare non omogenea a coefficienti costanti.

a. Soluzione generale omogenea associata

• Equazione omogenea. $ y$"$ +3y'+2y = 0 $
• Polinomio caratteristico. $ λ^2 + 3λ + 2 = (λ+2)(λ+1) $
• Radici polinomio caratteristico. $ λ_1 = -2; λ_2 = -1$
• Soluzione generale omogenea. $ c_1 e^{-2x} + c_2 e^{-x} $

b.  Soluzione particolare.

Cerchiamo una soluzione particolare del tipo ⊳ $ \bar{y}(x) = ax+b $. in tal caso

⊳ $ \bar{y}'(x) = a $

⊳ $ \bar{y}$"$(x) = 0 $

Introduciamole nell'equazione così da poter determinare le costanti a e b

$ 0 + 3a + 2(ax+b) = x+2 $ 

Per il principio di identità dei polinomi segue 

• • • $ 2ax = x \; ⇒ \; a = \frac{1}{2}$
    • $ \frac{3}{2} +2b = 2 \; ⇒ \; b = \frac{1}{4} $

Una soluzione particolare è così

$ \bar{y}(x) = \frac{1}{2} x +  \frac{1}{4} $

c.  La soluzione generale dell'ODE data è 

$ y(x) =  c_1 e^{-2x} + c_2 e^{-x}  + \frac{1}{2} x +  \frac{1}{4} $