Integrale generale, equazione differenziale.

Question

[attach]115748[/attach] [attach]115749[/attach] Spiegare gentilmente i ragionamenti, i passaggi e argomentare.

cmc · Accepted Answer

a. Soluzione generale omogenea associata.

Equazione omogenea. $ y' = -4y$
Soluzione generale omogenea. Invece di procedere con il polinomio caratteristico ci chiediamo qual è la funzione la cui derivata è -4volte la funzione stessa?
- $y(x) = ce^{-4x}$

b. Soluzione particolare.

Cerchiamo una funzione nella forma $Ae^{-2x}$, con A numero reale.

⊳ $ \bar{y}(x) = Ae^{-2x} $

⊳ $ \bar{y}' (x) = -2Ae^{-2x} $

Introduciamole nell'ODE

$ (-2A+4A)e^{-2x} = 2 e^{-2x} $

$ 2A = 2 \; ⇒ \; A = 1$

Una soluzione particolare. $ \bar{y}(x) = e^{-2x}$

c. Soluzione generale ODE data

$ y(x) = ce^{-4x} + e^{-2x} $

cmc

(@cmc)

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16/06/2025 22:18