Il seguente problema apparve in Europa circa 1200 anni fa, ma era già presente in forme analoghe in Oriente. «Un mercante di bestiame acquisto 100 maiali per 100 denari: un verro gli costò 10 denari, una scrofa 5 denari, un paio di lattonzoli 1 denaro. Quanti verri, quante scrofe, quanti lattonzoli comprò?»
Sul testo in mio possesso il problema di Alcuino sembra risolvibile mediante un sistema lineare con tre equazioni e tre incognite. Io ho provato con equazioni del tipo 10x=100-(5y+1/2z) che mi portano ad un risultato indeterminato 0=0. In effetti, il risultato sembrerebbe coerente col testo del problema, in quanto non è specificata la quantità di almeno uno delle tre categorie di maiale, adulto x, scrofa y, maialino z. Vi è indicato solo il prezzo unitario. Mi chiedo se è effettivamente risolvibile mediante un sistema?
@lucianop Ciao Luciano, sembra, da quanto ho appurato anche sul web, che alla fine sia quella l'unico modo per risolvere il problema... Thanks and have a good day
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Comprare 100 cose con 100 denari 5.
Propositio de emptore denariorum V. PROPOSITIO DE EMPTORE DENARIORUM. Dixit quidam emptor: volo de centum denariis C porcos emere; sic tamen, ut verres X denariis ematur; scrofa autem V denariis; duo vero porcelli denario uno. Dicat, qui intelligit, quot verres, quot scrofae, quotve porcelli esse debeant, ut in neutris numerus nec superabundet, nec minuatur? Solutio de emptore. Fac VIIII scrofas et unum verrem in quinquaginta quinque denariis; et LXXX porcellos in XL. Ecce porci XC. In residuis V denariis, fac porcellos X, et habebis centenarium numerum in utriusque.
PROPOSIZIONE SU UN COMMERCIANTE E I SUOI DENARI Disse un commerciante: "Voglio comprare 100 maiali con 100 denari in modo tale da pagare 10 denari per un verro adulto, 5 denari per una scrofa e 1 denaro per due maialini”. Dica, chi lo sa, quanti verri, scrofe e maialini dovrebbe acquistare il commerciante per spendere esattamente 100 denari? Soluzione. Il commerciante compra 9 scrofe ed un verro per 55 denari, e 80 maialini per 40 denari. Ecco 90 maiali. Con i rimanenti 5 denari, compra altri 10 maialini, ed in questo modo ha 100 maiali per 100 denari. Per trovare tutte le soluzioni si può risolvere il sistema: x + y + z = 100 maiali 10x + 5y + z/2 = 100 denari Il sistema è compatibile, ha rango 2, e, avendo 3 incognite, ha infinite soluzioni. Eccole: x = (-80) + (9/10)k y = (180) + (-19/10)k z = (1)k Dobbiamo però cercare soltanto le soluzioni intere e positive. Il numero di maialini, z, può variare da 1 a 200. Il numero di scrofe, y, è intero positivo se il numero dei maialini è multiplo di 10 ed è minore di 94. Il numero dei verri, x, è intero positivo se il numero dei maialini è multiplo di 10 ed è maggiore di 88 . Dunque, il numero dei maialini deve essere un multiplo di 10 compreso fra 88 e 94, cioè 90, da cui si ricava la soluzione unica: 90 maialini, 9 scrofe, 1 verro. Meraviglioso! Alcuino ci ha dato un problema con una unica soluzione!
@cenerentola Ciao Cenerentola, ovviamente, essendo la prima voce che esce da una ricerca con google, l'ho letto anch'io quel post, ma cercavo una soluzione tipica dei sistemi, se esistente, piuttosto che una derivante da deduzione logica... Thanks anyway and have a good day
@remanzini_rinaldo veramente esplicativa la tua spiegazione, Rinaldo, in linea con le altre soluzione proposte. Thanks and have a good day
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Da sotto in su. --------------- Sì, "è effettivamente risolvibile mediante un sistema". --------------- Hai ragione, circa il "... risultato indeterminato 0=0. In effetti ... coerente col testo ..." che, fornendo due sole relazioni fra tre variabili, non consentirebbe la formazione di un sistema determinato; tuttavia si deve anche tener conto delle condizioni restrittive desumibili dall'analisi di quel testo. 1) "... acquistò 100 maiali ..." di tre tipi ≡ il minimo numero dei tre tipi è un naturale (intero positivo). 2) "... un paio di lattonzoli 1 denaro." ≡ il numero del tipo "lattonzolo" è pari, si vendono a paia. --------------- Hai torto, circa le "... tre equazioni e tre incognite." Dove la vedi una terza equazione? In quel testo io non la vedo. ------------------------------ PROBLEMA DI ALCUINO Con le variabili naturali {L, S, V} = numero di {lattonzoli, scrofe, verri} e i rispettivi prezzi {1/2, 5, 10} traduco la narrativa in espressioni. * "... un paio di lattonzoli 1 denaro." ≡ L = 2*n * "... acquistò 100 maiali ..." di tre tipi ≡ min[{n, S, V}] in N * "... acquistò 100 maiali ..." ≡ L + S + V = 100 ≡ 2*n + S + V = 100 * "... per 100 denari ..." ≡ L/2 + 5*S + 10*V = 100 ≡ n + 5*S + 10*V = 100 Pertanto il sistema risolutivo è * (2*n + S + V = 100) & (n + 5*S + 10*V = 100) & (min[{n, S, V}] in N) ≡ ≡ (2*n + S + V = 100) & (n + 5*S + 10*V = 100) & (0 < A < B < C) & ({A, B, C} in N^3) dove "ABC" è una delle sei possibili permutazioni di "nSV". Risolvendo separatamente ciascuno dei sei sistemi * (2*n + S + V = 100) & (n + 5*S + 10*V = 100) & (0 < A < B < C) si scartano cinque soluzioni (in quanto o impossibili o non intere) e si accetta solo quella di * (2*n + S + V = 100) & (n + 5*S + 10*V = 100) & (0 < V < S < n) ≡ ≡ (n = 45) & (S = 9) & (V = 1) ≡ ≡ (L = 90) & (S = 9) & (V = 1) Quindi il sistema, CHE E' E RESTA INDETERMINATO in base alle sole equazioni, ha una sola soluzione compatibile con le condizioni restrittive IMPLICITE nel testo.
@exprof con le tre equazioni mi riferivo a prendere come primo membro alternativamente 1/2L oppure 5S oppure 10V... Davo per scontato che non c'era bisogno che vi indicassi L+S+V=100, oppure 2L+5S+10V=100. Comunque Rinaldo, con la sua tabella più che eloquente, mi ha illuminato perfettamente sulla soluzione del problema, che praticamente è la "foto", passami il termine, della identica soluzione che mi hai proposto tu. Solo che mi sono oscuri alcuni passaggi: non ho capito come hai ottenuto n=45, ecc., dalla soluzione del sistema che hai citato. Ci rifletterò. A buon rendere.
