Una palla di massa m1 = 24g, che viaggia alla velocità v1, urta elasticamente una palla ferma di massa m2 = 1/2m1. Dopo l'urto, la seconda pallla va a colpire elasticamente una terza palla ferma, di massa m3. Tutti gli urti avvengono lungo la stessa retta. Quale deve essere la masse m3 affinché la sua velocità dopo l'urto sia uguale a v1?
(vi prego di mostrare tutti i passi, altrimenti non capirò niente 😥)
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Genius II
Primo urto
Chiamo con η= velocità iniziale prima pallina, Μ = 0.024 kg la sua massa
Chiamo inoltre con α e β le velocità della prima e della seconda in seguito all'urto. Possiamo quindi scrivere:
{Μ·η = Μ·α + 1/2·Μ·β
{1/2·Μ·η^2 = 1/2·Μ·α^2 + 1/2·(1/2·Μ)·β^2
(Conservazione delle quantità di moto e dell'energia cinetica)
quindi:
{Μ·η = Μ·(α + β/2)
{Μ·η^2/2 = Μ·(α^2/2 + β^2/4)
cioè:
{η = α + β/2
{η^2/2 = α^2/2 + β^2/4
che risolto fornisce: [ α = η ∧ β = 0 ; α = η/3 ∧ β = 4·η/3 ]
di cui considero la seconda.
Quindi la prima pallina si riduce la velocità ad 1/3 mentre la seconda ha come velocità 4/3 della prima.
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Secondo urto
{1/2·Μ·(4·η/3) = 1/2·Μ·γ + m·η
{1/2·(1/2·Μ)·(4·η/3)^2 = 1/2·(1/2·Μ)·γ^2 + 1/2·m·η^2
Quindi:
{2·Μ·η/3 = m·η + Μ·γ/2
{4·Μ·η^2/9 = m·η^2/2 + Μ·γ^2/4
Risolto fornisce:
[γ = 0 ∧ η = 0 ; m = 0 ∧ γ = 4·η/3 ; m = 5·Μ/6 ∧ γ = - η/3]
accettabile solo l'ultima. Con
m = 5·Μ/6 = 5·0.024/6-----> m = 0.02 kg=20 g
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