Nel trapezio rettangolo ABCD la base maggiore AB e la base minore CD misurano rispettivamente 15 e 12 e l'altezza AD misura x. Prolunga i lati AD e BC e, detto P il loro punto di intersezione, determina per quali valori di x il perimetro del triangolo ABP è minore di 60.
193
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Livello 1
Considero i triangoli simili BFC e CDP dico che BF/FC= CD/DP ove:
BF=15-12=3
FC=x altezza trapezio
CD=12
Quindi DP=12*x/3 —————-> DP=4x: quindi AP=x+4x=5x
perimetro triangolo ABC= AP+AB+BP=5·x + 15 + √((5·x)^2 + 15^2) < 60
risolvo questa disequazione irrazionale e risolvo il problema.
Quindi, posto x>0 dovrà risultare: √(25·x^2 + 225) < 45 - 5·x
{25·x^2 + 225 ≥ 0
{45 - 5·x > 0
{25·x^2 + 225 < (45 - 5·x)^2
La prima disequazione razionale intera è sempre verificata. Per le altre si ha:
{x < 9
{25·x^2 + 225 < 25·x^2 - 450·x + 2025-------> x < 4
Quindi soluzione finale: 0<x<4
115471
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Genius III
con riferimento alla figura :
perimetro 2p < 60 = AB+AP+BP
60 = 15+5x+√15^2+25x^2
45-5x = √15^2+25x^2
45^2+25x^2-450x = 225+25x^2
x < (45^2-225)/450
x < 4,00
0 < x < 4
142414
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Genius III
Nel triangolo rettangolo ABP nomino
* a = |AB| = 15 = cateto
* b = |AP| = cateto
* c = |BP| = √(225 + b^2) = ipotenusa
* x = |AD| = altezza del trapezio rettangolo ABCD
* w = |CD| = base minore del trapezio rettangolo ABCD
* p = b + c + a = b + √(225 + b^2) + 15 = perimetro
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* p < 60 ≡ (b > 0) & (b + √(225 + b^2) + 15 < 60) ≡ 0 < b < 20
* (b - x)/b = w/a ≡ (b - x)/b = 12/15 = 4/5
* ((b - x)/b = 4/5) & (0 < x < b < 20) ≡
≡ (0 < b < 20) & (x = b/5) ≡
≡ 0 < x < 4
57798
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Genius I
