[Risolto] Problema con parabola, costi fissi e costi variabili

Se $x$ indica la quantità prodotta in chili al giorno

Guadagno = Ricavi Vendita - Costi (fissi, variabili, di spesa, ...)

$G(x) =6.2x - (120 +3.2x) -0.005x^2$

$G(x) =- 0.005 x^2 +3x-120$

Si tratta di una parabola con concavità rivolta verso il basso. L'asse y rappresenta il guadagno e quindi è massimo guadagno si ha quando la quantità ($x$) coincide con il vertice.

$x_{G(max)} =-b/2a = 300$ $kg/gg$

Per essere in attivo è necessario che il guadagno sia maggiore di zero. Le intersezioni con l'asse x, risolvendo l'equazione di secondo grado, sono $x_1 = 43.1$ e $x_2 = 556.9$.

Volendo approssimare a valori interi, è necessario produrre tra 43 e 557 kg/gg di prodotto.

Lo svolgimento dei problemi consiste di poche fasi successive: costruire un modello matematico traducendo in simboli quanto descritto in narrativa; identificare sul modello i risultati richiesti; manipolare il modello fino a isolare, se possibile, i simboli di tutti i risultati; esibire uno dei tre possibili esiti.
1) Dire che il problema è impossibile se c'è anche un solo risultato che non si può calcolare o che conduce a una contraddizione.
2a) Dire che il problema è indeterminato se si sono isolati i simboli di tutti i risultati, ma ce n'è anche uno solo eguagliato a un'espressione letterale anziché a un valore.
2b) Dire che il problema è determinato e mostrare i valori di tutti i risultati richiesti.
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NEL CASO IN ESAME
* x = kg/dì prodotti e venduti
* r(x) = (6.20 €/kg)*(x kg/dì) = 31*x/5 €/dì = ricavo
* c(x) = (120 €/dì) + (3.20 €/kg)*(x kg/dì) + (1/200 €·dì/kg^2)*(x kg/dì)^2 =
= (x^2 + 640*x + 24000)/200 €/dì = costo
* g(x) = r(x) - c(x) = r(x) - c(x) = 31*x/5 - ((x^2 + 640*x + 24000)/200) = guadagno ≡
≡ y = - (x^2 - 600*x + 24000)/200 ≡
≡ y = 330 - (x - 300)^2/200 ≡
≡ y = - (x - 20*(15 - √165))*(x - 20*(15 + √165))/200 ~≡
~≡ y = - (x - 43.095)*(x - 556.905)/200
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a) "Quanto insetticida deve vendere giornalmente la ditta per avere il massimo guadagno?" 300 kg
* g(300) = 330
Una produzione così rischiosa MAI VERREBBE APPROVATA da una direzione seria: il gioco non vale la candela.
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b) "Quali sono i limiti di produzione per essere in attivo?"
* g(x) > 0 ≡ 20*(15 - √165) < x < 20*(15 + √165)
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Questo è un PROBLEMA DETERMINATO.