[Risolto] Problema bello lungo

Siccome devo uscire tra una mezzoretta svolgo i primi due punti e rimando c e d in altro momento.

x = a·y^2 + b·y + c parabola richiesta ad asse orizzontale

Metto a sistema:

{x + 2·y - 16 = 0

{x = 0

risolvo: [x = 0 ∧ y = 8]

Quindi Q[0, 8]

y = - b/(2·a) asse della parabola

{0 = a·8^2 + b·8 + c

{- b/(2·a) = 4

risolvo quindi:

{64·a + 8·b + c = 0

{b/a = -8

quindi: b = - 8·a e per sostituzione:

64·a + 8·(- 8·a) + c = 0-----> c = 0 (la parabola passa per l'origine)

La parabola si riduce ad un solo parametro: x = a·y^2 - 8·a·y

Con le formule di sdoppiamento determino la tangente in [0, 8]

(x + 0)/2 = a·(8·y) - 8·a·(y + 8)/2

x = 8·a·y - 64·a

che confronto con quella già data: x = 16 - 2·y

{8·a = -2

{- 64·a = 16

In ogni caso ottengo: a = - 1/4

b = - 8·(- 1/4)------> b = 2

x = - 1/4·y^2 + 2·y

Altro punto:

{x = - 1/4·y^2 + 2·y

{y = 2·x

Risolvo: [x = 0 ∧ y = 0, x = 3 ∧ y = 6]

quindi A[3, 6]

Solite formule di sdoppiamento:

(x + 3)/2 = - 1/4·(6·y) + 2·(y + 6)/2

(x + 3)/2 = - 3·y/2 + (y + 6)

x = 9 - y

x + y - 9 = 0

Punti c e d

La retta s simmetrica della retta r: x + y - 9=0----> y=-x+9

rispetto all'asse di simmetria della parabola y=4 (si ottiene tramite trasformazione della sola y, cioè con

y = 2·4 - (-x + 9)----> y = x - 1

mentre la x è la stessa.

Tale retta essendo simmetrica alla retta s tangente, per simmetria della parabola rispetto alla retta y=4 deve anche essere tangente alla parabola in B simmetrico di A rispetto ad y=4.

Comunque:

{x = - 1/4·y^2 + 2·y

{y = x - 1

fornisce soluzione la sola soluzione: [x = 3 ∧ y = 2] che è B(3,2)

Il punto C:

{y = x - 1

{x + y = 9

[x = 5 ∧ y = 4] sta sull'asse di simmetria della parabola: C(5,4)

L'area del triangolo ABC vale 1/2·(6 - 2)·(5 - 3) = 4

L'area richiesta ne è 1/3-----> A = 4/3

ottenibile sottraendo l'area del segmento parabolico.

A) L'asse di simmetria parallelo all'asse x
* y = 4
indica equazione di forma
* Γ ≡ x = w + a*(y - 4)^2
e pendenze
* m(x) = ± 1/(2*√(a*(x - w)))
con
* apertura a != 0
* vertice V(w, 4)
---------------
La retta tangente
* t ≡ x + 2*y - 16 = 0 ≡ y = 8 - x/2
ha pendenza m = - 1/2 e interseca l'asse y in Y(0, 8) da dove, per la richiesta tangenza, deve passare anche Γ con la medesima pendenza; cioè
* (0 = w + a*(8 - 4)^2) & (- 1/2 = ± 1/(2*√(a*(0 - w)))) ≡
≡ (w = - 16*a) & (- 1/2 = 1/(8*|a|)) ≡
≡ (a = - 1/4) & (w = 4) oppure (a = 1/4) & (w = - 4)
il che darebbe luogo a due diverse parabole
* Γ1 ≡ x = 4 - (y - 4)^2/4
* Γ2 ≡ x = (y - 4)^2/4 - 4
di cui però la Γ2, avendo la concavità verso x > 0, in Y dev'essere secante e non tangente.
Vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D8-x%2F2%2Cx%3D4-%28y-4%29%5E2%2F4%2Cx%3D%28y-4%29%5E2%2F4-4%5D
CONCLUSIONE
La parabola richiesta è
* Γ ≡ x = 4 - (y - 4)^2/4 ≡ x = - y*(y - 8)/4 ≡ x = 2*y - y^2/4
con pendenze
* m(x) = ± 1/√(4 - x)
------------------------------
B) La retta per l'origine y = 2*x interseca Γ, oltre che in O(0, 0), anche in A(3, 6) dove essendo yA > 4 la pendenza è negativa
* m(3) = - 1/√(4 - 3) = - 1
quindi la richiesta tangente risulta
* r ≡ y = 6 - (x - 3) ≡ y = 9 - x
------------------------------
C) La consegna, così com'è formulata, sembra proprio stupida: suggerisce la sequenza rovesciata!
Usando la definizione di "asse di simmetria" si trova dapprima l'intrsezione
* (y = 4) & (y = 9 - x) ≡ C(5, 4)
poi il punto B(3, 4 - 2) simmetrico di A(3, 4 + 2), e solo alla fine la congiungente
* BC ≡ y = x - 1
------------------------------
D) Il triangolo T di vertici A(3, 6), B(3, 2), C(5, 4) ha area
* S(T) = (yA - yB)*(xC - xA)/2 = (6 - 2)*(5 - 3)/2 = 4
Il segmento parabolico retto P delimitato da Γ e dalla corda AB ha base b = yA - yB = 2 e altezza h = xV - xA = 1 e pertanto ha area, per la formula di Archimede, pari a due terzi del rettangolo circoscritto
* S(P) = (2/3)*b*h = 4/3
Quindi l'area S richiesta è
* S = S(T) - S(P) = 4 - 4/3 = 8/3
che NON COMBACIA COL RISULTATO ATTESO, ma dove ho toppato lo devi scoprire tu.