Scrivi l'equazione della circonferenza della figura che è tangente nel punto $A$ alla retta r e ha il centro sulla retta di equazione $y=-2 x+3$. a. Tra le rette parallele alla bisettrice ddi secosdo e quarto guadrante toova quelle che, intersecando la circonferenaa, determinano wa corda lusge $\frac{5}{2} \sqrt{2}$. b. Trova il perimetro del rettangolo con i vertici nei punti di intersezione della circonferenza con le rette trovate nel pusto a. c. Da $P(4 ;-5)$ conduci le tangenti alla circonferenza, trova le loro equazioni, le coordinate dei punti di tangenza $E$ e Fe il perimetro di EFP. $$ \begin{aligned} &\left.\left(x^3+y^2-3 x-4=0, a\right) y=-x+4, y=-x-1 ; b\right) 10 \sqrt{2}: \\ &\text { c) } y=-\frac{3}{4} x-2, x=4, E(0,-2), F(4 ; 0,2(5+\sqrt{5}) \end{aligned} $$
Essendo il raggio della circonferenza 5/2 e la condizione richiesta è che le corde intercettate sulle rette // alla bisettrice del 2-4 quadrante abbiamo lunghezza (5/2)*radice (2), il triangolo formato dal centro C con gli estremi della corda è rettangolo isoscele.
Le corde di lunghezza 5/2*radice (2) hanno distanza dal centro pari a:
d= 5/(2*radice (2)) = (5*radice (2))/4
Il fascio di rette // alla bisettrice del 2-4 quadrante è:
y= - x + k
Impongo quindi che la distanza del centro della circonferenza dalle rette del fascio sia uguale a d.
Dalla formula della distanza punto retta si ottiene:
| 3/2 - k| / radice (2) = d
| 3/2 - k| = 5/2
Da cui si ricavano i valori di k:
K= - 1
K=4
Sostituendo i valori di k nel fascio di rette // alla bisettrice determino le equazioni delle due rette:
y= - x+4
y= - x - 1
3)
Il rettangolo ha due lati congruenti con le corde di lunghezza (5/2)*radice (2) e due lati congruenti con la distanza tra le due corde, ossia 2d.
Quindi:
Perimetro = 5*radice (2) + 4d = 10*radice (2)
4)
La circonferenza intercetta l'asse x nel punto (4, 0).
Poiché vogliamo determinare le rette tangenti alla conica passanti per il punto (4, - 5) una delle due tangenti è la retta // asse y di equazione x=4
Possiamo determinare l'equazione della seconda retta tangente determinando l' equazione del fascio proprio di centro (4, - 5) ed Imponendo la condizione che la distanza punto retta del fascio sia uguale al raggio.
Il fascio di rette proprio risulta:
y+5 = m*(x-4)
y= mx - 4m - 5
Imponendo la condizione richiesta si ricava:
|5m + 10| = 5*radice (1+m²)
100m + 100 = 25
m= - 3/4
La seconda tangente ha quindi equazione:
y= - 3/4*x - 2
I punti di tangenza sono quindi:
F(4,0) retta tangente x=4
La retta e la circonferenza intersecano l'asse y nel punto (0, - 2) che risulta quindi punto di tangenza.
E(0, - 2) retta tangente y= - (3/4)*x - 2
Possiamo quindi calcolare il perimetro del triangolo:
@stefanopescetto wii ciao scusa sto facendo anche io questo esercizio ma non ho capito il punto a, ho fatto il sistema tra la circonferenza e la bisettrice generica, poi come si va avanti?
- Si calcola l'equazione della retta r nel disegno.
- Si trova anche l'equazione della perpendicolare alla retta r e passante per (0,2) chiamiamola t.
- Si pongono in sistema la retta y=-2x+3 e la retta t da cui le soluzioni daranno le coordinate del centro della circonferenza e di conseguenza il Raggio.
Per il punto a) si pongono in sistema la circonferenza con il fascio di rette y=-x+q e si calcolano le intersezioni in funzione di q.
Poi si impone che la distanza, ora in funzione di q, sia SQRT(2)*5/2 calcolando q.
Esercizio un po' stupido: chiede cose banali, ma con numeri scelti male che provocano calcoli con scritture complicate. Un buon esercizio dovrebbe chiedere cose non banali che richiedono calcoli semplici o, almeno, chiari. ------------------------------ Leggendo il grafico si vede che la retta r congiunge (- 8/3, 0) ad A(0, 2), quindi è * r ≡ y = (3/4)*(x + 8/3) le cui perpendicolari sono * s(q) ≡ y = q - (4/3)*x fra cui quella per A(0, 2) * s(2) ≡ y = 2 - (4/3)*x sulla quale, oltre che sulla y = 3 - 2*x, deve cadere il centro C della circonferenza Γ richiesta. Pertanto * (y = 3 - 2*x) & (y = 2 - (4/3)*x) ≡ C(3/2, 0) * |AC| = 5/2 * Γ ≡ (x - 3/2)^2 + y^2 = (5/2)^2 = 25/4 ------------------------------ Le parallele alla bisettrice dei quadranti pari sono * p(q) ≡ y = q - x e possono formare una corda solo quelle comprese fra le due tangenti, cioè per * (3 - 2*√57)/6 < q < (3 - 2*√57)/6 Gli estremi della corda sono le soluzioni del sistema * (y = q - x) & ((x - 3/2)^2 + y^2 = 25/4) & ((3 - 2*√57)/6 < q < (3 - 2*√57)/6) Lascio perdere qui. L'arzigogolamento della dattilografia mi irrita. Tante scuse.
