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[Risolto] Problema con la Circonferenza, non riesco a capire, come svolgerlo

  

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Scrivi l'equazione della circonferenza della figura che è tangente nel punto $A$ alla retta r e ha il centro sulla retta di equazione $y=-2 x+3$.
a. Tra le rette parallele alla bisettrice ddi secosdo e quarto guadrante toova quelle che, intersecando la circonferenaa, determinano wa corda lusge $\frac{5}{2} \sqrt{2}$.
b. Trova il perimetro del rettangolo con i vertici nei punti di intersezione della circonferenza con le rette trovate nel pusto a.
c. Da $P(4 ;-5)$ conduci le tangenti alla circonferenza, trova le loro equazioni, le coordinate dei punti di tangenza $E$ e Fe il perimetro di EFP.
$$
\begin{aligned}
&\left.\left(x^3+y^2-3 x-4=0, a\right) y=-x+4, y=-x-1 ; b\right) 10 \sqrt{2}: \\
&\text { c) } y=-\frac{3}{4} x-2, x=4, E(0,-2), F(4 ; 0,2(5+\sqrt{5})
\end{aligned}
$$

photo 2022 08 29 18 24 10
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@andrea_bergamini

Svolgo il punto 2) e 3) e 4)

IMG 20220831 190216

 

Essendo il raggio della circonferenza 5/2 e la condizione richiesta è che le corde intercettate sulle rette // alla bisettrice del 2-4 quadrante abbiamo lunghezza (5/2)*radice (2), il triangolo formato dal centro C con gli estremi della corda è rettangolo isoscele. 

 

Le corde di lunghezza 5/2*radice (2) hanno distanza dal centro pari a:

d= 5/(2*radice (2)) = (5*radice (2))/4

 

Il fascio di rette // alla bisettrice del 2-4 quadrante è:

y= - x + k

 

Impongo quindi che la distanza del centro della circonferenza dalle rette del fascio sia uguale a d. 

Dalla formula della distanza punto retta si ottiene:

| 3/2 - k| / radice (2) = d

| 3/2 - k| = 5/2

 

Da cui si ricavano i valori di k:

K= - 1

K=4

 

Sostituendo i valori di k nel fascio di rette // alla bisettrice determino le equazioni delle due rette:

y= - x+4

y= - x - 1

 

3)

Il rettangolo ha due lati congruenti con le corde di lunghezza (5/2)*radice (2) e due lati congruenti con la distanza tra le due corde, ossia 2d.

 

Quindi:

Perimetro = 5*radice (2) + 4d = 10*radice (2)

 

4) 

La circonferenza intercetta l'asse x nel punto (4, 0).

Poiché vogliamo determinare le rette tangenti alla conica passanti per il punto (4, - 5) una delle due tangenti è la retta // asse y di equazione x=4

 

Possiamo determinare l'equazione della seconda retta tangente determinando l' equazione del fascio proprio di centro (4, - 5) ed Imponendo la condizione che la distanza punto retta del fascio sia uguale al raggio.

Il fascio di rette proprio risulta:

y+5 = m*(x-4)

y= mx - 4m - 5

 

Imponendo la condizione richiesta si ricava:

 

|5m + 10| = 5*radice (1+m²)

100m + 100 = 25

m= - 3/4

 

La seconda tangente ha quindi equazione:

y= - 3/4*x - 2

 

I punti di tangenza sono quindi:

F(4,0)   retta tangente x=4

 

La retta e la circonferenza intersecano l'asse y nel punto (0, - 2) che risulta quindi punto di tangenza. 

 

E(0, - 2)   retta tangente y= - (3/4)*x - 2

 

Possiamo quindi calcolare il perimetro del triangolo:

 

FP= EP= 5 (segmenti di tangenza congruenti) 

EF= radice (20) = 2*radice (5)

 

Quindi il perimetro è:

2p = 10 + 2*radice (5)

 

 




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@andrea_bergamini

Ciao ti svolgo solo il primo punto (esercizio lungo!)

Determino la retta tangente in A(0,2) : utilizzo a tal fine l'equazione segmentaria:

x/a+y/b=1 dove a e b sono le due intercette sugli assi.

x/(- 8/3) + y/2 = 1-----> y = 3·x/4 + 2 quindi m = 3/4

La retta per A perpendicolare ad esse avrà coefficiente angolare: m = - 4/3

Quindi il centro della circonferenza dovrà stare su questa retta che metto a sistema assieme alla retta data dal testo:

{y = 2 - 4·x/3

{y = - 2·x + 3

Risolvo ed ottengo il centro: C(3/2,0)

Calcolo quindi il raggio:

r=√((0 - 3/2)^2 + (2 - 0)^2) = 5/2

Equazione della circonferenza:

(x - 3/2)^2 + y^2 = (5/2)^2 (eq. cartesiana)

svolgendo i calcoli:

x^2 + y^2 - 3·x - 4 = 0 (eq. implicita)

image

 

 

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Ciao Andrea, ti do qualche indicazione.

- Si calcola l'equazione della retta r nel disegno.

- Si trova anche l'equazione della perpendicolare alla retta r e passante per (0,2) chiamiamola t.

- Si pongono in sistema la retta y=-2x+3 e la retta t da cui le soluzioni daranno le coordinate del centro della circonferenza e di conseguenza il Raggio.

 

Per il punto a) si pongono in sistema la circonferenza con il fascio di rette y=-x+q e si calcolano le intersezioni in funzione di q.

Poi si impone che la distanza, ora in funzione di q, sia SQRT(2)*5/2 calcolando q.

il resto del problema penso sia fattibile




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Esercizio un po' stupido: chiede cose banali, ma con numeri scelti male che provocano calcoli con scritture complicate. Un buon esercizio dovrebbe chiedere cose non banali che richiedono calcoli semplici o, almeno, chiari.
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Leggendo il grafico si vede che la retta r congiunge (- 8/3, 0) ad A(0, 2), quindi è
* r ≡ y = (3/4)*(x + 8/3)
le cui perpendicolari sono
* s(q) ≡ y = q - (4/3)*x
fra cui quella per A(0, 2)
* s(2) ≡ y = 2 - (4/3)*x
sulla quale, oltre che sulla y = 3 - 2*x, deve cadere il centro C della circonferenza Γ richiesta.
Pertanto
* (y = 3 - 2*x) & (y = 2 - (4/3)*x) ≡ C(3/2, 0)
* |AC| = 5/2
* Γ ≡ (x - 3/2)^2 + y^2 = (5/2)^2 = 25/4
------------------------------
Le parallele alla bisettrice dei quadranti pari sono
* p(q) ≡ y = q - x
e possono formare una corda solo quelle comprese fra le due tangenti, cioè per
* (3 - 2*√57)/6 < q < (3 - 2*√57)/6
Gli estremi della corda sono le soluzioni del sistema
* (y = q - x) & ((x - 3/2)^2 + y^2 = 25/4) & ((3 - 2*√57)/6 < q < (3 - 2*√57)/6)
Lascio perdere qui. L'arzigogolamento della dattilografia mi irrita. Tante scuse.

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