[Risolto] Problema con integrali

A) Immagino che ti siano rimaste nella tastiera due coppie di parentesi e le reinserisco costruendomi la funzione rappresentata dalla curva Γ
* Γ(a, b) ≡ f(x) = y = (a*x + 1)/(x^2 + b)
con pendenza
* f'(x) = m(x) = - (a*x^2 + 2*x - a*b)/(x^2 + b)^2
che passa da Y(0, 1) con pendenza m(0) e da X(1, 0) con pendenza m(1).
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B) Scrivo i vincoli derivanti dalle condizioni di passaggio, con le relative pendenze, e ne risolvo il sistema.
* per Y(0, 1): 1 = (a*0 + 1)/(0^2 + b) ≡ 1 = 1/b
* per X(1, 0): 0 = (a*1 + 1)/(1^2 + b) ≡ 0 = (a + 1)/(b + 1)
* m(0) = - (a*0^2 + 2*0 - a*b)/(0^2 + b)^2 = a/b
* m(1) = - (a*1^2 + 2*1 - a*b)/(1^2 + b)^2 = (a*b - a - 2)/(b + 1)^2
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* (1 = 1/b) & (0 = (a + 1)/(b + 1)) ≡ (a = - 1) & (b = 1)
* m(0) = a/b = - 1
* m(1) = (a*b - a - 2)/(b + 1)^2 = - 1/2
* Γ ≡ f(x) = y = (1 - x)/(x^2 + 1)
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C) La retta congiungente X(1, 0) con Y(0, 1),
* r ≡ XY ≡ y = 1 - x
in quanto parallela alla bisettrice dei quadranti pari (è la diagonale del quadrato unitario), ha pendenza m = - 1, quindi è tangente Γ nel punto Y comune.
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D) Il segmento di Γ con corda XY ha area
* A = ∫ [x = 0, 1] (r - Γ)*dx
Poiché le primitive della differenza sono
* P(x) = ∫ (1 - x - ((1 - x)/(x^2 + 1)))*dx =
= ∫ (x/(x^2 + 1) - 1/(x^2 + 1) - x + 1)*dx =
= ln(x^2 + 1)/2 - (x - 2)*x/2 - arctg(x) + c
si ha
* A = ∫ [x = 0, 1] (r - Γ)*dx = P(1) - P(0) =
= 1/2 - π/4 + ln(2)/2 ~= 0.0611754
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E) VERIFICA
Per un difetto nel software di questo sito non posso mettere qui link che contengano segni di addizione, quindi per vedere l'integrale devi accedere alla pagina http://www.wolframalpha.com
e fare Copia/Incolla nella sua casella di input del comando
∫[x=0,1](1-x-((1-x)/(x^2+1)))*dx

y =(ax + 1) / (x^2 + b) : ma le parentesi voi non le mettete mai?

Passa per A(0,1) e B(1,0), con queste due informazioni determino a e b:

{1 = (a·0 + 1)/(0^2 + b)

{0 = (a·1 + 1)/(1^2 + b)

Risolvo:

[a = -1 ∧ b = 1]

La funzione è: y = (1 - x)/(x^2 + 1)

Determino la retta per i due punti:

y = -x + 1   (facile: m=-1 e q =1)

Devo dimostrare che è anche retta tangente in (0,1)

Calcolo derivata della funzione: y' = (x^2 - 2·x - 1)/(x^2 + 1)^2 (fai tu i calcoli!)

y' =m     Scrivo quindi la retta per (0,1)  di tale coefficiente angolare.

(0^2 - 2·0 - 1)/(0^2 + 1)^2-----> m=-1

Quindi:

y - 1 = - 1·(x - 0) -----> y = 1 - x DIMOSTRATO!

La regione di piano definita dalla retta e dalla funzione è pari all'integrale:

f(x)=(1 - x) - (1 - x)/(x^2 + 1) ( la retta è sopra la funzione)

definito tra 0 ed 1:

Integrale indefinito di:

f(x)=(x^2 - x^3)/(x^2 + 1) vale:

∫(x^2 - x^3)/(x^2 + 1)dx =- ATAN(x) + LN(x^2 + 1)/2 - x^2/2 + x +C (fai tu i calcoli!)

fra 0 ed 1 vale (integrale definito):  LN(2)/2 - (pi - 2)/4

area della regione finita R.

la retta r :

ha coefficiente angolare m=-1 ed intercetta n=1

quindi ha equazione y=-x+1

la f(x) :

passa per (1,0) e (0,1)

quindi [ 0=(a+1)/(b+1)

...........[1= 1/b

[a=-1

[b=1

y= (-x+1) / x² +1)

verifica che r è tangente a f(x) in (0,1) :

due metodi

-sistema retta/curva

-calcolo della tg alla curva e verifica che coincide con r

il secondo:

y'= (x² -2x -1) / (x²+1)²

m= f'(0)= -1

tg : y-1= -x

y= -x +1 che è proprio r

area R :

∫(r-f(x) ) dx tra 0 e 1

∫[ -x+1 + (x-1)/(x²+1) ] dx

-x² /2 +x + 1/2 * ∫(2x-2)/(x²+1) dx=

-x²/2 +x +1/2 * ∫2x/(x²+1) dx -1/2* 2 *1/(x²+1) dx=

-x²/2 +x +1/2 * ln (x²+1) - arctg(x) tra 0 e 1

= 1/2 +1/2* ln(2) - π/4=

(1+ ln(2) ) /2 - π/4