[Risolto] Studio di funzione

Non seguirò la scaletta proposta, che assomiglia più a una lista della spesa che a uno studio di funzione; comunque darò risposta a tutte le domande raggruppandole, salvo al punto "attacchi". Non ho la più pallida idea di cosa significhi.

f(x) = x³*log|x|

1. Dominio, continuità e derivabilità. 

Si tratta di una funzione trascendente contenente logaritmi, quindi definita dove l'argomento è strettamente positivo

x³*log|x| ⇒ |x|>0 ⇒ x≠0

• Dominio = ℝ \ {0}
• La funzione f(x) è continua laddove definita, poiché è prodotto e composizione di funzioni continue. Esistono teoremi a riguardo.
• La funzione f(x) è derivabile laddove definita, poiché è prodotto e composizione di funzioni derivabili. Esistono teoremi a riguardo.

2. Simmetrie

La funzione f(x) è prodotto di una funzione dispari (x³) per una funzione pari. Dispari per pari è dispari, quindi simmetrica rispetto all'Origine degli assi.

Il alternativa lo puoi dimostrare usando la definizione

f(-x) = (-x)³*log|-x| = - x³*log|x| = -f(x) ⇒ dispari.

3. Segni e zeri.

• f(x) = 0. Per x=-1 V x=1 (la soluzione x=0 è da scartare essendo fuori dominio)

NB. Il risultato è coerente con la simmetria. Approfittiamo della disparità per studiare la funzione nell'intervallo (0,+oo) per poi estendere i risultati nell'intervallo (-oo,0) dopo aver eseguito un cambiamento di segno. 

• f(x) > 0

-) in (0,+oo)  x³ è positivo ⇒ f(x) > 0 se logx>0 cioè per x>1

-) in (0,+oo)  x³ è positivo ⇒ f(x) < 0 se logx<0 cioè per 0<x<1

Estendendo i risultati a tutto il dominio

f(x) > 0 in (-1,0) U (1,+oo)  (NB. dispari occorre cambiare segno se x<0)

• f(x) < 0 in (-oo,-1) U (0,1) (in maniera analoga)

Verifica. ( è evidente che Dominio = {f(x)=0 U f(x)>0 U f(x)<0}) questa scrittura è formalmente una schifezza ma rende bene l'idea di una verifica che viene fatta "per ispezione diretta")

4. Limiti e asintoti.

• lim(x→0)f(x) = lim(x→0)x²*xlog|x| = 0*0 = 0

(x*logx è un limite notevole per x→0⁺)

Si tratta di una discontinuità di 3 specie ovvero discontinuità eliminabile. Nessun asintoto.

• lim(x→+oo)f(x) = +oo
• lim(x→-oo)f(x) = -oo (NB. per simmetria)

questo risultato implica che:

i) Non vi sono asintoti orizzontali al più può essere presente un asintoto obliquo.

La presenza di x³ esclude questa possibilità, comunque lo si dimostra facilmente infatti procedendo con i calcoli

m = lim (x→+oo)f(x)/x = (x→+oo) x²*xlog|x| = +oo (nessun asintoto obliquo)

ii) Non sono presenti ne massimo assoluto ne il minimo assoluto. Questo però merita un capitolo a parte.

5. Massimi/minimi assoluti.

dai punto 4. si ha

• lim (x→+oo)f(x) = +oo ⇒ Sup f(x) = +oo Non esiste massimo assoluto
• lim (x→+oo)f(x) = +oo ⇒ Inf f(x) = -oo Non esiste minimo assoluto

NB. In perfetta coerenza con la simmetria.

6. Derivate.

• derivata prima f'(x) = 3x²log|x|+x³*1/x = x²(3log|x|+1)

NB. la derivata di log|x| = 1/x

• derivata seconda f"(x) = x(6log|x|+5)

7. Monotonia f(x)

Segno derivata prima

• f'(x) = 0 ⇒ x²(3log|x|+1) ⇒ log|x|=-1/3 ⇒ |x| = e^(-1/3) ⇒ x= ± 1/³√e 

NB. due punti stazionari in accordo, di segno opposto con la simmetria

• f'(x) > 0 ⇒ x²(3log|x|+1) ⇒ 3log|x|+1 > 0 ⇒ log|x| > -1/3 ⇒

i) se x > 0 allora 0 < x < 1/³√e

ii) se x < 0 allora x < - 1/³√e

riassumendo: 

● f(x) monotona crescente cioè f'(x) > 0 in (-oo, - 1/³√e) U (1/³√e,+oo)

● f(x) monotona decrescente cioè f'(x) < 0 in (- 1/³√e,0) U (0, 1/³√e)

8. Massimi, minimi relativi.

Per simmetria è sufficiente studiare il comportamento della funzione nel punto stazionario positivo, per poi concludere.

- per x= 1/³√e la derivata prima è negativa (funzione decrescente) alla sinistra del punto per poi essere positiva (funzione crescente) alla destra è quindi si tratta di un minimo.

• minimo relativo f(x)  per x=1/³√e dove la funzione vale f(1/³√e) = -1/(3e)
• massimo relativo f(x) per x=-1/³√e dove la funzione vale f(-1/³√e) = 1/(3e)

quest'ultimo è stato ricavato per simmetria. Senza dover rifare tutti i calcoli e le considerazioni precedenti.

9. Convessità e flessi.

Segno derivata seconda: 

f"(x) = 0 ⇒ x(6log|x|+5) = 0 ⇒ 6log|x|+5 = 0 ⇒ log|x| = -5/6 ⇒ x = ± 1/⁶√e⁵

f"(x) > 0 ⇒ x(6log|x|+5) > 0 ⇒ 6log|x|+5 > 0 ⇒  - 1/⁶√e⁵<x<0 V x>1/⁶√e⁵

• La funzione è convessa in (- 1/⁶√e⁵,0 ) U (1/⁶√e⁵,+oo)

f"(x) < 0 ⇒ x(6log|x|+5) < 0 ⇒ 6log|x|+5 < 0 ⇒  x< - 1/⁶√e⁵ V 0 < x < 1/⁶√e⁵

• La funzione è concava in (-oo,- 1/⁶√e⁵) U (0,1/⁶√e⁵)

I punti x=± 1/⁶√e⁵ sono punti di flesso infatti la derivata seconda cambia il segno, cioè c'è un cambio di concavità.

10. Grafico.

Conclusione. Sfruttare la simmetria porta a un notevole risparmio e semplificazione dei calcoli.

Vediamo se ho capito: devi fare SEDICI studi sulla funzione
* y = (x^3)*ln(|x|) = (x^3/2)*ln(x^2)
ma non stai riuscendo ........ a fare quale? T'è rimasto nella tastiera!
Se rispondi "nessuno dei sedici", o comunque più di tre o quattro, vuol dire che devi ristudiare la teoria con un po' più di calma della volta precedente.
In ogni caso ti puoi ispirare ai link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3D%28x%5E3%2F2%29*ln%28x%5E2%29
http://www.wolframalpha.com/input/?i=extrema+y%3D%28x%5E3%2F2%29*ln%28x%5E2%29
http://www.wolframalpha.com/input/?i=asymptotes+y%3D%28x%5E3%2F2%29*ln%28x%5E2%29
http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+%28x%5E3%2F2%29*ln%28x%5E2%29
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sign+%5B%28x%5E3%2F2%29*ln%28x%5E2%29%5D