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[Risolto] Problema con integrale

  

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Buonasera,

ho un problema con un esercizio che in realtà ha tutta l'aria di essere banale, ma banale per davvero: il fatto è che è di una tipologia finora mai affrontata dal sottoscritto, quindi è probabile mi stia sfuggendo qualcosa di ovvio.

Sia $F(x)$ la primitiva della funzione $f(x)=\frac{1}{x}$ che vale $1$ per $x=−1$.
Allora:
(a) $F(-\frac{1}{e})=1$
(b) $F(−e^{2})=0$
(c) $F(−e)=2$

Ciò che vorrei capire non è come arrivare alle soluzioni (una o più di una possono essere corrette), che una volta inteso l'esercizio sono banali, ma... quello che chiede.

Ad occhio sembra un esercizio nel quale, data una funzione e calcolata la famiglia di primitive, bisogna determinare il valore della $costante$ affinché una data primitiva (in questo caso $F(x)$) abbia un determinato valore se calcolata per una certa $x$.

La primitiva di $f(x)=\frac{1}{x}$ è $ln(x)+c$. Cosa si intende per $F(-1)$, dato che ho un logaritmo naturale e l'argomento deve essere $>0$?

Purtroppo il testo che possiedo (Analisi Matematica 1, Bramanti-Pagani-Salsa) non ha esercizi simili e rimane piuttosto vago sulle funzioni integrali (...si parla di funzioni integrali, giusto?).

Grazie in anticipo,
buona serata!

Autore
[edit] errore mio, volevo rispondere commentando l'intervento di EidosM

2 Risposte
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Ti credo sulla parola se dici che il tuo testo di Analisi non ha esercizi simili però, se è vero che è un trattato di Analisi Matematica, riporta certamente la "Formula del Diavolo", come la chiamò il suo scopritore Eulero (~ 1748)
* e^(i*π) = - 1.
LE TUE PERPLESSITA' HANNO ORIGINE IN UN PAIO DI PRESUPPOSTI FALSI: «... dato che ho un logaritmo naturale e l'argomento deve essere > 0 ...»
SAREBBE STATO VERO SE AVESSI SCRITTO: «... dato che ho un logaritmo naturale e l'argomento deve essere != 0 ...»
L'altro presupposto falso è «...si parla di funzioni integrali, giusto?»
NO, NON E' GIUSTO: si parla di valor principale dei logaritmi complessi.
------------------------------
Dall'equazione
* ln(- 1) + c = 1 ≡
≡ i*π + c = 1 ≡
≡ c = 1 - i*π
si ricava una costante d'integrazione complessa e la richiesta primitiva
* F(x) = ln(x) + (1 - i*π)
---------------
Le valutazioni proposte sono:
(a) F(- 1/e) = ln(- 1/e) + (1 - i*π) = 0 != 1 <=== FALSO
(b) F(- e^2) = ln(- e^2) + (1 - i*π) = 3 ! = 0 <=== FALSO
(c) F(- e) = ln(- e) + (1 - i*π) = 2 <=== VERO

Buonasera,

la ringrazio per la risposta; onestamente non sono stati affrontati i logaritmi in campo complesso (o, almeno, sul testo non vi è traccia; non si va oltre radici e potenze in C), per cui quella soluzione non avrei potuto pensarla. Prendendo, invece, l'integrale di $\frac{1}{x}$ come $ln|x|+c$ (come effettivamente riportato anche nel testo... errore mio non averci ripensato) si risolve l'esercizio in un secondo.

Grazie comunque, ho scoperto una cosa in più. 

Buona serata!




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Probabilmente la difficoltà può essere superata ponendo

 

F(x,C) = ln |x| + C.

Vero!

Grazie, buona serata.



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