Problema con Cauchy

L'ODE di questo problema di Cauchy è del tipo a variabili separabili. Determiniamone la soluzione

1. Separa. $ \frac{dy}{4+y^2} = x \, dx$
2. Integra. $ \frac{1}{2} arctan(\frac{y}{2}) = \frac{x^2}{2} + c $    ovvero     $ arctan(\frac{y}{2}) = x^2 + c $
3. Esplicita. $ tan(arctan(\frac{y}{2}) = tan(x^2+c) $ 

$ \frac{y}{2} = tan(x^2+c) $

$ y(x) = 2 tan(x^2+c) $ 

Soluzione definita per $ x^2 \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $ ovvero

$ - \frac{\pi}{2} < x^2 < \frac{\pi}{2}$

La prima è sempre verificata; rimane

$  x^2 < \frac{\pi}{2}$

$ -\frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{2}} \lt x \lt \frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{2}} $

$ -\frac{\sqrt{2\pi}}{2} \lt x \lt \frac{\sqrt{2\pi}}{2} $ 

Troviamo la soluzione del problema di Cauchy

$ y(0) = 2 $

$ 2 tan(c) = 2$

$ tan(c) = 1 \; ⇒ \; c = \frac{\pi}{4} $

La soluzione del problema di Cauchy è

$  y(x) = 2 tan(x^2+ \frac{\pi}{4}) $ 

ricorda che la derivata di arctan(t) = 1 / (1 + t^2).

y' = x * ( 4 + y^2);     y(0) = 2;

dy / dx = x * ( 4 + y^2);

dy/dx = x * 4 [1 + (y/2)^2];

separiamo le variabili:

dy /[1 + (y/2)^2] = 4 x dx;

∫dy /[1 + (y/2)^2] = 4 ∫x dx;

2 * arctan(y/2) = 4 x^2/2 + c;

arctan(y/2) = x^2 + c

tan [arctan(t)] = t;

tan[arctan(y/2) = tan(x^2 + c);

y/2 = tan(x^2 + c);

y(x) = 2 * tan(x^2 + c);

troviamo c:

y(0) = 2;

2 = 2 * tan(0 + c);

tan(c) = 2/2;

tan(c) / 1;

c = arctan(1) = 45° = π/4;

y(x) = 2 * tan(x^2 + π/4 );

la tangente è definita tra:    - π/2 ; + π/2;

 (x^2 + π/4) < + π/2;

x^2 < + π/2 - π/4;

x^2 <  π/4;

- radice(π) / 2 < x < radice(π) /2