Spiegare gentilmente i ragionamenti, i passaggi e argomentare.
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Livello 2
L'equazione differenziale è lineare, omogenea a coefficienti costanti.
Passiamo al problema di Cauchy
$ y(x) = c_1 e^x + c_2 e^{-3x} \; ⇒ \; y(0) = c_1 +c_2 = 0 $
$ y'(x) = c_1 e^x \cdot -3 c_2 e^{-3x} \; ⇒ \; y'(0) = c_1 - 3c_2 = 1$
Poniamo il tutto a sistema
$ \left\{\begin{aligned} c_1 +c_2 &= 0 \\c_1 - 3c_2 &= 1 \end{aligned} \right. $
La cui soluzione è $ c_1 = \frac{1}{4}; c_ 2 = - \frac{1}{4} $
La soluzione del problema di Cauchy è
$ y(x) = \frac{1}{4}e^x - \frac{1}{4} e^{-3x} $
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Livello 6