Problema con Cauchy

y" + 2y' = 0;  y(0) = 1; y'(0) = 2;

λ^2 + 2λ = 0; polinomio caratteristico;

λ(λ + 2) = 0;

λ1 = 0;

λ2 = - 2;

Soluzione generale y(x):

y(x) = c1 * e^(0x) + c2 * e^(-2x);

y(x) = c1 + c2 * e^(-2x);

Troviamo c1 e c2 con le condizioni date per il problema:

y(0) = 1;  e^(- 2 *0) = 1

c1 + c2 = 1;

y'(x) = - 2 * c2 * e^(-2x);

y'(0) = 2;

- 2 c2 = 2;

c2 = - 1;

c1 - 1 = 1;

c1 = + 2

y(x) = 2 + (- 1) * e^(-2x);

y(x) = 2 - e^(-2x).

Ciao @alby

L'equazione differenziale è lineare, omogenea a coefficienti costanti.

1. Equazione differenziale. $y$"$ + 2y' = 0 $
2. Polinomio caratteristico. $λ^2 +2λ = λ(λ+2) $
3. Radici polinomio caratteristico. $λ_1 = 0 ; λ_2 = -2 $  due radici reali distinte
4. Soluzione generale equazione differenziale. $ y(x) = c_1 + c_2 e^{-2x} $

Passiamo al problema di Cauchy

$ y'(x) = -2 \cdot c_2 e^{-2x}  \; ⇒ \; y'(0) = -2 \cdot c_2 = 2 \; ⇒ \; c_2 = -1$

$ y(x) = c_1 - e^{-2x} \; ⇒ \; y(0) = c_1 - 1 = 1 \; ⇒ \; c_1 = 2 $

La soluzione del problema di Cauchy è 

$ y(x) = 2 - e^{-2x} $