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[Risolto] Problema circonferenza tangente ad una retta in un punto

  

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Salve a tutti.

Ho tentato di svolgere il seguente problema ma non riesco ad andare avanti.

"Determina le equazioni delle circonferenze tangenti in P(1,-1) alla retta t: x+y=0 e aventi raggio r=rad(2)".

Ho prima impostato un sistema con tre condizioni in tre incognite:

2+a-b+c=0;

2=(-a/2)^2+(-b/2)^2-c;

Delta del sottosistema tra circonferenza generica e retta =0 cioè (a-b)^2-8c=0.

Il sistema non è di facile risoluzione e sono passata ad un altro metodo cercando di determinare il centro.

Ho calcolato la retta perpendicolare a t passante per P: y=x-2. Tale retta passerà per il centro della circonferenza.

Ho provato poi a trovare C(xc,xc-2) impostando la distanza punto retta uguale al raggio ma non riesco a ricavare nulla.

Qualcuno può aiutarmi a capire? Grazie

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Screenshot 20230511 184014

Il raggio vettore è perpendicolare alla retta tangente la conica nel punto di tangenza. La retta tangente ha coefficiente angolare m =-1.

Quindi i centri delle circonferenze sono sulla retta // alla bisettrice del primo e terzo quadrante passante per P.

La retta ha equazione: y=x-2

Essendo il raggio delle due circonferenze R=radice (2) le ascisse dei centri sono:

xC1 = xP+1 = 2

xC2 = xP-1 = 0

Il raggio è infatti l'ipotenusa di un triangolo rettangolo isoscele avente come cateti:

C1=C2=|xC-xP|=|yC-yP| = 1

 

Sostituendo i valori delle ascisse nella retta dei centri y= x-2 determino le ordinate 

yC1= 0

yC2 = - 2

@stefanopescetto non ho capito.

Prova a rileggere lo scritto ed eventualmente specifica COSA non ti risulta chiaro 



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La prima mossa efficace l'hai descritta con «Ho calcolato la retta perpendicolare a t passante per P: y=x-2.» e poi ti sei smarrita con «impostando la distanza punto retta uguale al raggio».
I due centri sono le intersezioni di «Tale retta passerà per il centro della circonferenza» con il luogo dei punti che distano r = √2 da P(1, - 1) cioè
* (y = x - 2) & ((x - 1)^2 + (y + 1)^2 = (√2)^2 = 2) ≡
≡ C1(0, - 2) oppure C2(2, 0)
da cui
* Γ1 ≡ x^2 + (y + 2)^2 = 2
* Γ2 ≡ (x - 2)^2 + y^2 = 2
Vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D-x%2C%28x-1%29%5E2%3D2-%28y--1%29%5E2%2Cx%5E2%3D2-%28y--2%29%5E2%2C%28x-2%29%5E2%3D2-y%5E2%5D



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