[Risolto] Problema cilindro inscritto in una sfera

Ciao @beppe

Buon anno pure a te.

s = 4·pi·r^2 = superficie della sfera

Σ = 2·pi·ρ·h = superficie laterale cilindro

avendo indicato per quest'ultimo con ρ = raggio di base e h = altezza cilindro

Quindi: 

s/Σ = 169/60

4·pi·r^2/(2·pi·ρ·h) = 169/60------> r^2/(h·ρ) = 169/120

ma si ha pure che vale il teorema di Pitagora per gli elementi in gioco, quindi puoi scrivere il sistema:

{h·ρ = 120/169·r^2

{r^2 = ρ^2 + (h/2)^2

Se risolvi tale sistema ottieni:

[h = 10·r/13 ∧ ρ = 12·r/13, h = - 10·r/13 ∧ ρ = - 12·r/13,

 h = 24·r/13 ∧ ρ = 5·r/13, h = - 24·r/13 ∧ ρ = - 5·r/13]

Le soluzioni sono quelle in grassetto.

 

 

Sfera di raggio R > 0.
Cilindro di raggio 0 < r < R e di altezza 0 < h < 2*R.
Area S(sfera) = 4*π*R^2.
Area laterale S(cilindro) = 2*π*r*h.
"... della sfera è 169/90 della ..." ≡ 4*π*R^2 = (169/90)*2*π*r*h ≡
≡ h*r = (180/169)*R^2
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"per comprendere meglio l'esercizio" non serve "il disegno dei 2 solidi", ma è utile quello di una loro sezione con un piano diametrale su cui si ha un cerchio massimo in cui è inscritto un rettangolo di base 2*r, altezza h e diagonale 2*R; quindi con
* (2*R)^2 = h^2 + (2*r)^2
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Il sistema risolutivo (con le misure in unità di R, R^2, R^3) è
* (h*r = 180/169) & (h^2 + (2*r)^2 = 2^2) ≡
≡ (h*r = 180/169) & ((h/2)^2 + (r/1)^2 = 1)
E QUI SORGE UN PROBLEMA
1) I vertici dell'iperbole "h*r = 180/169", sulla diagonale h = r, sono
* V = ± ((6/13)*√5, (6/13)*√5) ~= ± (1, 1) con |V| = (6/13)*√10 ~= 1.46
2) Le intersezioni diagonale-ellisse sono
* (h = r) & ((h/2)^2 + (r/1)^2 = 1) ≡
≡ P = ± (2/√5, 2/√5) ~= ± (0.89, 0.89) con |P| = (2/5)*√10 < |V|
3) Pertanto, NON ESSENDOCI SOLUZIONI REALI, il dilemma ha due soli corni:
3a) o tu hai commesso un errore di dito scrivendo "169/90"
3b) oppure io ho commesso un errore di demenza senile nei conti qui sopra.
TERTIUM NON DATUR.
Nel caso 3a solo tu puoi correggere: io non posso trovare l'inciampo.
Nel caso 3b solo altri possono correggere: io non posso trovare l'inciampo.

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AGGIUNTA
Dopo il commento "... il rapporto fra le aree è 169/60 e non 169/90 ..." si dà luogo a poche, ma significative, modifiche.
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1) 4*π*R^2 = (169/60)*2*π*r*h ≡ h*r = (120/169)*R^2
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2) * (h*r = 120/169) & (h^2 + (2*r)^2 = 2^2) & (0 < r < 1) & (0 < h < 2) ≡
≡ (h = 10/13) & (r = 12/13)
oppure
≡ (h = 24/13) & (r = 5/13)