[Risolto] Problema applicazione equazione decadimento esponenziale

a) Se ogni 6 ore la concentrazione si dimezza, la tabella sará:

Quindi dopo 24 ore la concentrazione è 0.4375 unità per ogni ml di sangue. in pratica è sufficiente usare la concentrazione iniziale e dividere per $2^4$ dove l'esponente $4$ si calcola come $(tempo totale)/(tempo dimezzamento)=24/6=4$.

b) dal testo capisco che la concentrazione deve diminuire "del 15%", quindi la domanda è "quando si arriva ad una concentrazione pari all'85%?"

Supponendo il tempo $t$ espresso in ore, e chiamando $c_0$ la concentrazione iniziale, la concentrazione in funzione del tempo si esprime come:

$c(t)=c_0 2^{-t/6}$

La domanda è trovare $t$ per cui:

$c_0 2^{-t/6}=0.85 c_0$ --> $2^{-t/6}=0.85$ 

applicando a sinistra e destra il logaritmo naturale si ottiene:

$log(2^{-t/6})=log(0.85)$ --> $-t/6=\frac{log(0.85)}{log(2)}$ e quindi

$t=-6\frac{log(0.85)}{log(2)}=1.406$ $ore$

Quindi dopo circa 1 ora e 24 minuti.

Ricontrolla i calcoli, spero di non aver commesso errori 

Ogni decadimento esponenziale con un'emivita (tempo di dimezzamento) di k unità di tempo ha il rapporto r(t) fra il valore v(t) all'istante t e il valore V all'istante zero dato da
* r(t) = v(t)/V = 2^(- t/k) = 1/2^(t/k)
da cui si vede che
* r(0) = 1/2^(0/k) = 1
* r(k) = 1/2^(k/k) = 1/2
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NEL CASO IN ESAME
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Con
* Unità di misura: tempo, ora h; concentrazione, unità per mL di sangue u/mL.
e i dati
* k = 6
* V = C = 7 [concentrazione all'istante zero]
* v(t) = c(t) [concentrazione all'istante t]
si ha
* r(t) = v(t)/V = 1/2^(t/k)
da cui la legge di QUESTO decadimento esponenziale
* c(t) = 7/2^(t/6) u/mL
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RISPOSTE AI QUESITI
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1) "Qual' è la concentrazione dopo un giorno?" [volevi scrivere "Qual è", vero?]
* t = "un giorno" = 24 ore
* c(24) = 7/2^(24/6) = 7/16 = 0.4375 u/mL
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2) "Dopo quante ore la concentrazione diminuisce del 15%"
"diminuisce del 15%" vuol dire "vale l'85% di quella iniziale"
* 85% = 17/20
* c(x)/7 = 1/2^(x/6) = 17/20 ≡
≡ 2^(x/6) = 20/17 ≡
≡ log(2, 2^(x/6)) = log(2, 20/17) ≡
≡ x/6 = log(2, 20/17) ≡
≡ x = 6*log(2, 20/17) ~= 1.4067915 h ~= un'ora, 24 minuti e 24.45 secondi