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[Risolto] bisettrici angolo adiacenti del trapezio

  

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Ciao, vi propongo questa dimostrazione.

Verifica che, in ogni trapezio, le bisettrici degli angoli adiacenti a ciascun lato obliquo sono tra loro perpendicolari.

 

grazie.

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Dalla figura sottostante si capisce chiaramente che i due angoli $\alpha$ e $\beta$ sono fra loro supplementari, ovvero la loro somma è pari a 180°.

image

Questo deriva dal fatto che i segmenti $AB$ e $CD$ (base minore e base maggiore del trapezio) sono paralleli per costruzione e tagliano uno stesso segmento (il lato obliquo $AD$).

Pertanto 

$\alpha + \beta =180°$

detto questo, costruendo le due bisettrici:

image

e considerando il triangolo $AED$, per trovare l'angolo incognito $\gamma$ si scrive che la somma degli angoli interni di un triangolo è 180° e quindi:

$\alpha/2 + \beta/2 + \gamma = 180°$

ma sappiamo che $\alpha/2 + \beta/2=(\alpha + \beta)/2=180°/2=90°$ quindi

$\gamma = 180°- (\alpha/2 + \beta/2)=180°-90°=90°$

abbiamo appena dimostrato che l'angolo $\gamma$ è retto, quindi le due bisettrici sono ortogonali fra loro.

cvd



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Per la proprietà delle rette parallele tagliate da una trasversale gli angoli coniugati interni sono supplementari, per questo motivo la somma degli angoli adiacenti a ciascun lato obliquo in un trapezio è pari a 180°. Inoltre se consideriamo il triangolo formato dalle bisettrici, la somma degli angoli interni ad esso deve essere uguale a 180°. Unendo queste due condizioni trovo che l'angolo formato dalle due bisettrici deve essere necessariamente di 90°, dunque esse sono perpendicolari



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La richiesta dimostrazione si ottiene mettendo in fila alcune ben note ovvietà.
A) Per definizione di trapezio le due basi giacciono su rette parallele.
B) Ciascun lato obliquo giace su una retta trasversale che taglia le due parallele.
C) Gli angoli interni (a, b) adiacenti a un lato obliquo sono "coniugati interni" della configurazione "paraTrasv" di parallele e trasversale.
D) Gli angoli coniugati di "paraTrasv" sono supplementari (cioè a + b = 180°).
E) Le bisettrici di (a, b), che formano un triangolo con base il lato obliquo e vertice opposto nella loro intersezione, individuano i due angoli adiacenti alla base [del triangolo, lato obliquo del trapezio] di ampiezze (a/, b/2), per definizione di bisettrice: quindi la loro somma è (a + b)/2 = 180°/2 = 90°.
F) Poiché la somma degli angoli interni di ogni triangolo (e quindi di questo) è di 180° e poiché la somma di due di essi è di 90°, per differenza dev'essere di 90° il terzo.
QED

@exprof ..ben fatto



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La spiegazione è contenuta nella figura 



Risposta




SOS Matematica

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