DATO CHE HO PERSO MOLTE LEZIONI A SCUOLA, IL CONCETTO DI FASCIO DI RETTE NON LE HO CAPITE MOLTO.
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Il concetto di fascio di rette lo si capisce bene costruendoselo a piccoli passi.
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Primo passo: devi aver presente, SNR (≡ se no, ripassare!), che ogni polinomio di primo grado nelle due variabili reali (x, y) se eguagliato a zero forma l'equazione, nel riferimento cartesiano Oxy, di una linea retta e che, cambiando i valori anche di un solo coefficiente, cambia la retta rappresentata.
Di una tale equazione la forma più generale (forma normale canonica) è
* a*x + b*y + c = 0
dove (a, b, c) sono tre numeri reali.
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Secondo passo: avendo in forma canonica le equazioni di due rette
* g1 ≡ a*x + b*y + c = 0
* g2 ≡ p*x + q*y + r = 0
che devono essere distinte, cioè con la terna (a, b, c) non proporzionale alla (p, q, r), e due variabili reali (u, v) non entrambe nulle (u + v != 0), si può affermare che essendo zero entrambi i primi membri dev'essere zero anche ogni loro combinazione lineare
* u*(a*x + b*y + c) + v*(p*x + q*y + r) = 0
ovviamente per u = 0 quest'equazione coincide con quella di g2 e viceversa per v = 0.
Da quest'equazione sviluppare, commutare e ridurre in (x, y) dà luogo a
* a*u*x + b*u*y + c*u + p*v*x + q*v*y + r*v = 0 ≡
≡ a*u*x + p*v*x + b*u*y + q*v*y + c*u + r*v = 0 ≡
≡ (a*u + p*v)*x + (b*u + q*v)*y + (c*u + r*v) = 0
che è sì la forma normale canonica di un'equazione di retta, ma come coefficienti invece di tre numeri reali ha tre espressioni nelle variabili reali (u, v) (le quali in questo contesto, non essendo le titolari del riferimento Oxy, assumono il nome di "paràmetri"); dal momento che "cambiando i valori anche di un solo coefficiente, cambia la retta rappresentata" quest'equazione non rappresenta UNA retta: al variare dei parametri di rette ne rappresenta un'infinità che assume il nome di "fascio".
L'equazione, purché non si abbiano denominatori nulli, si può anche esplicitare
* (x = - ((b*u + q*v)*y + (c*u + r*v))/(a*u + p*v)) & (a*u + p*v != 0)
* (y = - ((a*u + p*v)*x + (c*u + r*v))/(b*u + q*v)) & (b*u + q*v != 0)
e, da questa, s'individuano le caratteristiche geometriche
* pendenza m = - (a*u + p*v)/(b*u + q*v)
* intercetta q = - (c*u + r*v)/(b*u + q*v)
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Terzo passo: le due rette (g1, g2) usate per costruire l'equazione del fascio di rette assumono l'attributo di "generatrici" del fascio, che tuttavia non sono "LE generatrici" perché non hanno alcuna peculiarità oltre all'essere distinte: l'equazione del fascio si può generare a partire da due QUALSIASI rette del fascio, purché distinte.
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Quarto passo: è un'equazione di fascio ogni equazione di retta
* a*x + b*y + c = 0
in cui almeno uno dei tre coefficienti invece d'essere un numero reale è un'espressione parametrica.
Indicando con la maiuscola che quella lettera è di un coefficiente parametrico si danno otto tipi
0) abc: una sola retta, non un fascio
1) abC: un fascio di parallele (improprio, tutte le rette hanno la stessa pendenza)
e si ha un fascio anche negli altri sei casi
2) aBc, 3) aBC, 4) Abc, 5) AbC, 6) ABc, 7) ABC
ma per distinguerne la natura, se improprio o proprio (tutte le rette passano per un punto detto centro del fascio proprio), si deve vedere sulla singola equazione se per due valori qualsiasi del parametro si ottengono rette parallele o incidenti. In ogni tipo da due a sette si distingue se ciascun coefficiente parametrico è azzerabile o resta non nullo per ogni valore del parametro.
ESEMPIO
L'equazione dell'esercizio 422
* r(k) ≡ (k + 1)*x - (k + 2)*y + 2 = 0
è del tipo "6) ABc" con espressioni azzerabili; in tal caso assumendo come "due valori qualsiasi" proprio quelli che azzerano i coefficienti si hanno direttamente le coordinate del centro.
* r(- 2) ≡ x = 2 ≡ x - 2 = 0
* r(- 1) ≡ y = 2 ≡ y - 2 = 0
quindi il centro è C(2, 2).
L'equazione del fascio si può generare dalle rette coordinate
* r(u, v) ≡ u*(x - 2) + v*(y - 2) = 0 ≡
≡ u*x + v*y - 2*(u + v) = 0
che assume la forma di quella data ponendo (u = k + 1) & (v = - (k + 2)) da cui - 2*(u + v) = 2.
Ma anche, senza mutare parametri, separando i termini parametrici dagli altri
* r(k) ≡ (k + 1)*x - (k + 2)*y + 2 = 0 ≡
≡ k*(x - y) + 1*(x - 2*y + 2) = 0
tuttavia questa seconda forma ha l'inconveniente di non poter rappresentare la "retta esclusa" (x - y = 0) non potendo per nessun valore di k far sì che la costante uno valga zero.
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Con questi quattro passi (se li assimili come tuoi) dovresti avere tutti i concetti sufficienti a rispondere ai quesiti.
