Data l'ellisse di equazione $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, con $a>b$, determina quale relazione deve sussistere tra $a^2$ e $b^2$ affinché il triangolo avente per vertici i due fuochi dell'ellisse e uno dei due vertici dell'ellisse sull'asse $y$ sia equilatero.
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Livello 0
Ellisse con centro di simmetria nell'origine degli assi cartesiani. Essendo a²>b² i due fuochi sono sull'asse x.
Indicando con c= semidistanza focale, il triangolo risulta equilatero se:
b=c*radice (3)
La semidistanza focale è il cateto minore di un triangolo rettangolo avente come altro cateto (maggiore) l'altezza del triangolo equilatero (h=b)
Da cui:
b² = 3*(a²-b²)
3a²=4b²
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Genius II
@stefanopescetto grazie mille
👍
Le ellissi con i fuochi F(± c, 0) sull'asse x e simmetrici rispetto O(0, 0) hanno equazione
* Γ ≡ (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1
con
* semiassi 0 < b < a
* semidistanza focale c = √(a^2 - b^2)
* vertici dell'asse maggiore VM(± a, 0)
* vertici dell'asse minore Vm(0, ± b)
Per definizione, la distanza |FVm| = a: quindi il triangolo è equilatero se e solo se il semiasse minore b = (√3/2)*a (l'altezza); quindi
* b^2/a^2 = 3/4
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Genius I
