[Risolto] problema 2 ellisse

Ellisse con centro di simmetria nell'origine degli assi cartesiani. Fuochi sull'asse x 

c=radice (a²-b²) = 2

Imponendo la condizione di appartenenza del punto alla conica si ricava la seconda condizione 

b²=1 => a²=5

La conica ha equazione 

x²/5 + y²/1 = 1

Indichiamo con P(x;y) il vertice del quadrato inscritto appartenente al primo quadrante. Risulta

{x=y

{x²/5 + y² = 1

Le coordinate del vertice P sono:

P=[radice (5/6);radice (5/6)]

Per la simmetria del problema si determinano i restanti tre vertici 

Le ellissi con i fuochi F(± 2, 0) sull'asse x e simmetrici rispetto O(0, 0) hanno equazione
* Γ ≡ (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1
con
* semiassi 0 < b < a
* semidistanza focale c = √(a^2 - b^2)
da cui
* (√(a^2 - b^2) = 2) & (0 < b < a) ≡ a = √(b^2 + 4)
* Γ ≡ (x/√(b^2 + 4))^2 + (y/b)^2 = 1
---------------
La condizione di passare per P(0, 1), vertice dell'asse minore, dà
* b = 1
* Γ ≡ (x/√5)^2 + y^2 = 1
---------------
Il quadrato inscritto in Γ ha vertici nelle intersezioni fra Γ e l'iperbole degenere sulle diagonali dei quadranti
* ((x/√5)^2 + y^2 = 1) & (y^2 = x^2) ≡ (± √(5/6), ± √(5/6))
Vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5B%28x%2F%E2%88%9A5%29%5E2%3D1-y%5E2%2Cy%5E2%3Dx%5E2%5Dx%3D-%E2%88%9A5to%E2%88%9A5%2Cy%3D-1to1