[Risolto] Problema

Un punto materiale lanciato dalla posizione (0, h), con velocità di modulo V m/s e alzo θ (con h >= 0, V > 0 e θ in [- π/2, π/2]), nel semipiano x > 0 di un riferimento Oxy soggetto a gravità terrestre ha un moto parabolico governato da
* vx(t) = V*cos(θ)
* x(t) = V*cos(θ)*t
* vy(t) = V*sin(θ) - g*t
* y(t) = h + (V*sin(θ) - (g/2)*t)*t
cioè ha
* posizione istantanea P(x(t), y(t))
* velocità istantanea v(t) = (vx(t), vy(t))
La traiettoria percorsa si ricava eliminando il parametro tempo dalle equazioni delle coordinate.
Nei due casi in cui l'alzo assume i valori estremi (θ = ± π/2) la traiettoria parabolica degenera nella verticale.
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L'ordinata s'azzera nell'istante T > 0 in cui
* y(T) = h + (V*sin(θ) - (g/2)*T)*T = 0 ≡
≡ T = √(2*h/g + ((V/g)*sin(θ))^2) + (V/g)*sin(θ)
e, all'istante T, l'ascissa vale
* x(T) = V*cos(θ)*(√(2*h/g + ((V/g)*sin(θ))^2) + (V/g)*sin(θ))
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NEL CASO IN ESAME
Con
* g = 9.80665 = 196133/20000 m/s^2
* h = 4.9 = 49/10 m
* V = 2 m/s
si ha
* T = √(2*(49/10)/(196133/20000) + ((2/(196133/20000))*sin(θ))^2) + (2/(196133/20000))*sin(θ) =
= √(28000/28019 + ((40000/196133)*sin(θ))^2) + (40000/196133)*sin(θ)
* x(T) = 2*cos(θ)*(√(28000/28019 + ((40000/196133)*sin(θ))^2) + (40000/196133)*sin(θ))
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Con
* θ = + 45°
* sin(θ) = sin(+ 45°) = + 1/√2
* cos(θ) = cos(+ 45°) = + 1/√2
si ha
* T = √(28000/28019 + ((40000/196133)/√2)^2) + (40000/196133)/√2 ~= 1.154 s
* x(T) = (√2)*(√(28000/28019 + ((40000/196133)/√2)^2) + (40000/196133)/√2) ~= 1.632 m
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Con
* θ = - 45°
* sin(θ) = sin(- 45°) = - 1/√2
* cos(θ) = cos(- 45°) = + 1/√2
si ha
* T = √(28000/28019 + (- (40000/196133)/√2)^2) - (40000/196133)/√2 ~= 0.866 s
* x(T) = (√2)*(√(28000/28019 + (- (40000/196133)/√2)^2) - (40000/196133)/√2) ~= 1.224 m

inclinata verso l'alto o verso il basso?

OK. Verso il basso!

Equazioni orarie:

{y = h - 1/2·g·t^2 - 2·t

{x=2t

h=4.9 m; g=9.806 m/s^2

quanto tempo impiega per raggiungere il suolo?

y=0

0 = 4.9 - 1/2·9.806·t^2 - 2·t

risolvo ed ottengo: t = -1.224244215 ∨ t = 0.816 s

Quale distanza orizzontale percorre prima di arrivare a terra?

x=2·0.816 = 1.632 m

x(t) = vo t cos a

y(t) = vo t sin a - 1/2 g t^2 + h

Poni y = 0 e ricavi T

2 T rad(2)/2 - 4.9 T^2 + 4.9 = 0

T^2 - rad(2)/4.9 T - 1 = 0

scegli la radice positiva

T = 1.1546 s

D = 2*1.1546 * rad(2)/2 m = 1.633 m

moto verticale 

0-h = -Vo*sen 45*t-g/2*t^2

0 = 4,9-2t-4,903 t^2 

tempo t = (2-√4+4,9*19,612)/-9,806 = 0,816 sec 

distanza orizzontale d  = Vo*cos 45 *t = 2*0,816 = 1,632 m