[Risolto] problema

Ma perché Charlie e Freddy e non Tizio e Caio o Cosma e Damiano o Mario e Silla? E perché 27 cents e non 27 centesimi, o almeno "27 cent" (i prestiti linguistici sono neutri e invariabili, in italiano!)? Boh!
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Assegnando un nome simbolico a ciascuna entità d'interesse si scrivono le relazioni descritte in narrativa come formule nei nomi assegnati.
Il loro insieme costituisce il modello matematico la cui elaborazione risolve il problema.
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* a = colletti di Charlie
* b = polsini di Charlie
* c = colletti di Freddy
* d = polsini di Freddy
* p = prezzo del lavaggio di un polsino
* q = 4*p/5 = prezzo del lavaggio di un colletto
* x = l'incognita del problema
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* "30 pezzi in tutto" ≡ a + b + c + d = 30
* "conteneva metà dei polsini ... totali" ≡ d = (b + d)/2
* "conteneva ... 1/3 dei colletti totali" ≡ c = (a + c)/3
* "pagò in tutto 27 cents" ≡ d*p + c*q = 27
* "Quanto pagherà Charlie per il resto della biancheria?" ≡ x = b*p + a*q
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Modello risolutivo
* (q = 4*p/5) & (a + b + c + d = 30) & (d = (b + d)/2) & (c = (a + c)/3) & (d*p + c*q = 27) & (x = b*p + a*q) ≡
≡ (c = (a + c)/3) & (d = (b + d)/2) & (q = 4*p/5) & (a + b + c + d = 30) & (d*p + c*q = 27) & (x = b*p + a*q) ≡
≡ (a = 2*c) & (b = d) & (q = 4*p/5) & (2*c + d + c + d = 30) & (d*p + c*4*p/5 = 27) & (x = d*p + 2*c*4*p/5) ≡
≡ (a = 2*c) & (b = d) & (q = 4*p/5) & (d = 3*(10 - c)/2) & ((3*(10 - c)/2)*p + c*4*p/5 = 27) & (x = (3*(10 - c)/2)*p + 2*c*4*p/5) ≡
≡ (a = 2*c) & (b = d) & (q = 4*p/5) & (d = 3*(10 - c)/2) & (p = 27/(15 - 7*c/10)) & (x = (c + 150)*p/10) ≡
≡ (a = 2*c) & (b = d) & (q = 4*p/5) & (d = 3*(10 - c)/2) & (p = 27/(15 - 7*c/10)) & (x = 27*(c + 150)/(150 - 7*c))
in quest'ultima scrittura si osserva che
* le prime cinque relazioni determinano valori irrilevanti per il problema
* l'ultima relazione consente di determinare x in funzione di c
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Dovendo avere x intero positivo e 0 < c < 150/7 = 21.(428571) si deve valutare x per i ventun possibili valori di c e restringere la risposta ai valori ammissibili
* {c, x} ∈ {{1, 4077/143}, {2, 513/17}, {3, 1377/43}, {4, 2079/61}, {5, 837/23}, {6, 39}, {7, 4239/101}, {8, 2133/47}, {9, 1431/29}, {10, 54}, {11, 4347/73}, {12, 729/11}, {13, 4401/59}, {14, 1107/13}, {15, 99}, {16, 2241/19}, {17, 4509/31}, {18, 189}, {19, 4563/17}, {20, 459}, {21, 1539}}
da cui i risultati ammissibili
* {c, x} ∈ {{6, 39}, {10, 54}, {15, 99}, {18, 189}, {20, 459}, {21, 1539}}
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Tuttavia, pur se irrilevanti per il problema, i valori di d e di p devono essere positivi e d dev'essere intero
* (3*(10 - c)/2 > 0) & (27/(15 - 7*c/10) > 0) ≡ c < 10
quindi infine
* "Quanto pagherà Charlie per il resto della biancheria?" ≡ x = 39 cent, unica soluzione corretta.

39 centesimi, ma sospetto che esista un'altra soluzione

infatti c + p deve essere 30, ma p deve essere divisibile per 2 e c per 3.

Quindi le sole coppie accettabili sarebbero (6,24) (12,18), (18,12) (24,6)

ma poiché i polsini vanno a coppie nel pacco di F ce ne dovevano essere

un numero pari, per cui possiamo considerare solo (12,18) e (24,6)

Andiamo con (12,18) : nel pacco di F c'era (6,6) e detto a il costo di

lavaggio di un polsino 4a = 5b => b = 4/5 a e allora

6 a + 6 * 4/5 a = 27

(6 + 24/5) a = 27

a = 27 : 54/5 = 27*5/54 = 2.5 cents

per cui C spende 6 * 2.5 + (18 - 6) * 4/5 * 2.5 = 15 + 24 = 39 cents

Con (24,6) invece : nel pacco di F c'era (12,2)

12 a + 2*4/5 a = 27

(12 + 8/5)a = 27

68/5 a = 27

a = 135/68

C spende  12 * 135/68 + 4 * 4/5 * 135/68 = (12 + 16/5)*135/68 = 76 * 27/68 = 30.17 cents

Mi sembra un pò strano un numero decimale di centesimi,

ma non c'é un motivo puramente matematico per escluderlo.

Χ = N° colletti

30 - Χ = N° polsini

c = costo di un colletto

5/4·c = costo di un polsino

Freddy paga:

(30 - Χ)/2·(5/4·c) + Χ/3·c = 27

Charlie paga:

(30 - Χ)/2·(5/4·c) + 2·Χ/3·c = 27 + Δ

Quindi Charlie paga di più di un tot pari a Δ

(presumibilmente intero)

Dalla prima ricavo: c = 648/(450 - 7·Χ)

che sostituito nella seconda:

(30 - Χ)/2·(5/4·(648/(450 - 7·Χ))) + 2·Χ/3·(648/(450 - 7·Χ)) - (27 + Δ) = 0

semplifico ed ottengo:

(Χ·(7·Δ + 216) - 450·Δ)/(450 - 7·Χ) = 0

Quindi:

Χ·(7·Δ + 216) - 450·Δ = 0

che fornisce:

Χ = 450·Δ/(7·Δ + 216)

oppure

Δ = 216·Χ/(450 - 7·Χ)

Facendo variare la X:

l'unico valore intero per Delta è 12

27+12=39 cents

per tale valore ottengo un numero intero:

Χ = 450·12/(7·12 + 216) = 18 che conferma l'esattezza del risultato

Charlie e Freddy portarono i loro colletti e polsini sporchi, 30 pezzi in tutto, a una lavanderia. Quando
Freddy ritirò il suo pacco, che conteneva metà dei polsini e 1/3 dei colletti totali, pagò in tutto 27
cents. Sappiamo che il costo per il lavaggio di 4 polsini è uguale a quello di 5 colletti. Quanto pagherà Charlie per il resto della biancheria?

La sola soluzione intera è 39 cent  in corrispondenza di 12 polsini  e 18 colletti  :

# prezzo di un colletto = 27/(6+6*1,25) = 2,00

# prezzo di un polsino = 2*1,25 = 2,50 € 

Verifica per Freddy : 6(2,5+2) = 27 €

verifica per Charlie : 6*2,5+12*2 = 15+24 = 39 €