[Risolto] Probabilità

La risposta corretta è $\textbf{C}$.

La probabilità che vinca Cosimo è la probabilità di intersezione dell'evento A: il dado indica un numero maggiore di 3 e dell'evento B: è estratta una carta di segno rosso. La probabilità di vincita di Daria è quella dell'unione dell'evento C: il dado indica un numero minore di 3 e dell'evento D: è estratta una carta di picche. Elettra vince quando non vincono Cosimo e Daria. Tutti gli eventi combinati in un'intersezione o un'unione, sono indipendenti, quindi possiamo calcolare la probabilità dell'intersezione come il prodotto tra le probabilità degli eventi, e la probabilità di unione come la somma e la differenza dell'intersezione (perché sono compatibili).

Indichiamo con $P_C$, $P_D$, e $P_E$ la probabilità di vincita di Cosimo, Daria ed Elettra rispettivamente. Calcoliamo le probabilità:

$P_C=P(A \cap B)=\frac{3}{6} \cdot \frac{20}{40} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

$P_D= P(C \cup D)= P(C) + P(D) - P(C \cap D)= \frac{2}{6} + \frac{10}{40} -\frac{2}{6} \cdot \frac{10}{40}= \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}= \frac{6}{12}=\frac{1}{2}$.

Sapendo che Elettra vince quando Cosimo e Daria non vincono, la sua probabilità è la complementare alla somma di $P_C+P_D$, quindi $P_E=1-P_C-P_D=1-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$.

Adesso che conosci tutte le probabilità puoi vedere che tutte le risposte sono incorrette tranne la $\textbf{C}$.

Nota:

Sottrai solo una volta l'intersezione perché le probabilità singole si un evento contemplano anche l'intersezione, quindi avresti una doppia intersezione in caso di eventi compatibili, sottraendo una volta rimuovi un doppione e hai la probabilità che si verifichi solo il primo evento, la probabilità che si verifichi solo il secondo, e la probabilità che si verifichino entrambi.

Ho modificato la risposta per un errore che avevo notato dopo aver visto quella di @eidosm.

Mi scuso per essermi dilungato di nuovo.

Pr [C] = 1/2 * 1/2 = 1/4

Pr [D] = 1/3 + 1/4 - 1/3*1/4 = 7/12 - 1/12 = 1/2

Pr [E] = 1 - 1/4 - 1/2 = 1/4

e si vede subito che la sola corretta é C.