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[Risolto] PRESUMO UN ERRORE DI CALCOLO.

  

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Ho già provato a svolgere l’esercizio più volte ma non mi viene il Delta=0, per la retta tangente: non capisco dove possa essere l’errore è per questo chiedo UN AIUTO! Grazie in anticipo.

l’esercizio é: Data la parabola di equazione 2y=x*2-6x+5, trova le equazioni delle rette tangenti a essa nei punti A e B di intersezione con l’asse x. Verifica che le tangenti in A e B si incontrano in un punto C dell’asse della parabola e che il punto medio del segmento di perpendicolare condotto da C all’asse x è il vertice V.

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Notiamo che la parabola 2y=x²-6x+5 ha asse di simmetria parallelo all'asse delle ordinate (asse y).

 

  • Coordinate punti A e B

risolviamo il sistema parabola/asse ascissa

{y=0

{2y=x²-6x+5

le cui due soluzioni sono x=1 & y=0 V x=5 & y=0 per cui

A=(1.0) , B(5,0)

 

 

  • fascio rette passanti per i due punti
    • per A(1,0) il fascio ha equazione y=m(x-1)
    • per B(5,0) il fascio ha equazione y=m(x-5)

 

Calcoliamo le equazioni delle due rette tangente utilizzando due diversi metodi

  • retta tangente in A(1,0)
    • intersezione rette del fascio/parabola

{y=mx-m

{2y=x²-6x+5

per confronto 

2mx-2m = x²-6x+5

x²-(6+2m)x+5+2m = 0

per avere la tangenza annulliamo il discriminante. Δ=0

(6+2m)²-4(5+2m) = 0

m=-2

La retta tangente ha equazione y = -2x+2 

 

  • retta tangente in B(5,0)
    • usiamo le formule di sdoppiamento visto che B è un punto della parabola

L'equazione della retta tangente nel punto x₀=5 e y₀=0 è data dalla

2*(y+y₀)/2 = x*x₀ -6(x+x₀)/2+5

y+0 = 5x-3x-15+5

y = 2x-10

 

 

  • Coordinate del punto C intersezione rette tangenti

{y = -2x+2 

{y = 2x-10

la cui unica soluzione è x=3 & y=-4

Le coordinate di C sono C(3,-4)

 

 

  • C giace sull'asse di simmetria della parabola y = x²/2 -3x +  5/2 

L'asse di simmetria ha equazione x = -b/2a = 3/1 = 3

Osserviamo che xC=3 quindi C giace sulla retta x = 3 parallela all'asse delle ordinate.

 

 

  • Vertice della parabola / punto medio perpendicolare tra C e asse delle ascisse
    • Il punto medio M ha coordinate M(3,-2) 
    • Il vertice V della parabola.

La  coordinata xV del vertici giace sull'asse di simmetria quindi xV=3 

La coordinate yV = -(b²-4ac)/4a = -(9-5)/2 = -2

Le coordinate di V sono V(3,-2) quindi le stesse di  M(3,-2).

 

desmos graph (16)

 




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..ma ti rendi conto che non hai saputo nemmeno copiare il testo in modo corretto ?

 parabola di equazione 2y = x^2-6x+5

per x = 0, y = 5/2

per y = 0, x^2-6x+5 = 0

x = (6 ± √6^2-4*5)/2 = (6±4)/2 = 5(A) ; 1(B)

vertice :

ascissa Xv = 1+(5-1)/2 = 3

ordinata Yv = -2

pendenza della retta in A : -2

ordinata all'origine : 2

pendenza della retta i B = 2

ordinata all'origine : -10

 

 

2
image

2·y = x^2 - 6·x + 5

2·y = (x - 1)·(x - 5)

Quindi: y=0------->(x - 1)·(x - 5) = 0---->x = 5 ∨ x = 1 

P1(1,0) e P2(5,0)

Con le formule di sdoppiamento determino le tangenti nei punti richiesti.

2·(y + 0)/2 = x·1 - 6·(x + 1)/2 + 5------> y = x - 3·(x + 1) + 5------>y = 2 - 2·x

2·(y + 0)/2 = x·5 - 6·(x + 5)/2 + 5------>y = 5·x - 3·(x + 5) + 5----->y = 2·x - 10

L'asse ha sempre equazione: x = - b/(2·a)  (anche se a primo membro c'è 2y)

x = 3

Risolvo il sistema:

{y = 2 - 2·x

{y = 2·x - 10

ed ottengo: [x = 3 ∧ y = -4]----> C(3,-4) quindi è sull'asse!

L'ordinata rispetto al vertice V è doppia infatti:

2·y = 3^2 - 6·3 + 5----->2·y = -4---->    y = -2       V(3,-2)






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