[Risolto] Pressione e altezza

Ciao!

Il tuo problema è parecchio interessante, e si può affrontare in due modi diversi. 

Il primo metodo è quello che ti conviene applicare con i dati che hai a disposizione, il secondo è più una chicca che può portarti molti punti in un eventuale orale.

Dato che non credo tu abbia gli strumenti matematici per affrontare tale trattazione, ti mostrerò prima il metodo "classico" che devi applicare, e poi quello "figo".

Ultima premessa in risposta alla tua domanda: no, la e non rappresenta la carica elementare, bensì la funzione esponenziale (che, se sei in terzo liceo, dovresti aver visto a fine anno).

I METODO

Considerando i dati del testo, dobbiamo cercare di capire cosa abbiamo e cosa ci manca.

Sappiamo che la formula da utilizzare è: $ p=p_{0}e^{-\frac{mgh}{k_{B}T}} $

Noi conosciamo

• $ p_{0}=p_{atm}= 1 bar \simeq 1.013*10^5 Pa $
• $ T=280 K $
• $ MM= 29 u $
• $ h= 3 km = 3000 m $

Ricordiamo, inoltre, che:

• $ g=9.81 \frac{m}{s^2} $
• $ k_{B}= 1.38*10^{-23} JK^{-1} $

Per definizione, la costante di Boltzmann è pari a $ k_{B}=\frac{R}{N_{A}} $, dove $ R=8.314 \frac{J}{molK} $ e $ N_{A}=6.022*10^{23} molecole/mole $.

Il testo ci dice inoltre che m è la massa di una singola molecola di atmosfera, quindi $ N=1 $, dove $ N $ è il numero di molecole, definito come $ N=n*N_{A} $, con n numero di moli.

La massa, infine, si esprime come $ m=n*MM $.

Esprimiamo, dunque, il rapporto $ \frac{m}{k_{B}} $ in funzione delle relazioni note:

$ \frac{m}{k_{B}} = \frac{n*MM}{\frac{R}{N_{A}}} = \frac{n*N_{A}*MM}{R} $

$ \frac{N*MM}{R} $ ma sappiamo che $ N=1 $, quindi $ \frac{m}{k_{B}} =\frac{MM}{R} $ 

Possiamo, allora, riscrivere la formula della pressione come:

$ p=p_{0}e^{-\frac{MMgh}{RT}} $, e sostituendo i valori numerici si ottiene:

$ p=0.7p_{0}=0.7 bar $

Volendo fare un'analisi dimensionale, dobbiamo verificare (te lo lascio come esercizio) che l'argomento dell'esponenziale (l'esponente della e) sia adimensionale.

II METODO

Il secondo metodo parte da considerazioni teoriche più complete e sfrutta strumenti matematici che acquisirai in quinto liceo. Te lo cito per completezza, ovviamente non è indispensabile per la trattazione di cui hai bisogno, ma riuscire a portare un risultato del genere (anche solo a livello teorico) in un'interrogazione ti farà fare un figurone.

Partiamo col dire che la pressione atmosferica è originata dall'attrazione gravitazionale da parte della terra sulla massa di gas che la circonda, e si raggiunge un equilibrio statico che determina una compressione contro la superficie della terra. Questo equilibrio è dovuto alle forze di pressione (interne) dei gas che "spingono" l'atmosfera ad espandersi nel vuoto (l'universo) e la forza di attrazione gravitazionale esercitata dalla terra. Quando queste due forze si equivalgono, la massa d'aria continua ad esercitare una pressione verso il vuoto, ma essendo un fluido, tale pressione si esercita in tutte le direzioni, quindi anche verso la superficie terrestre.

Ora, sappiamo sperimentalmente che la pressione aumenta all'aumentare della profondità, quindi diminuisce all'aumentare dell'altezza.

Ciò è dovuto al fatto che è maggiore (o minore, se consideriamo uno spostamento verso l'alto) il peso della colonna d'aria che preme sulla terra.

La decrescita non è lineare, e come dice il tuo problema avrà la forma di un'esponenziale con argomento negativo. Assumendo l'atmosfera isoterma (ovviamente nella realtà ciò non vale assolutamente), vale la legge di Boyle: $ pV=cost. $ ed esprimendo $ V=\frac{m}{\rho} $ abbiamo $ \frac{p}{\rho}=cost. $, dato che la massa è costante.

Ora, consideriamo un asse z orientato verso l'alto, e supponiamo che al livello del mare (z=0) ad una temperatura di 0°C, la pressione atmosferica sia $ p_{0}=p_{atm}=1.013*10^5 Pa $ e la densità dell'aria sia $ \rho_{0}=1.3 kg/m^3 $ (tali valori sonoo verificati sperimentalmente).

Alla quota z, la pressione vale p, e per la legge di Boyle la densità varrà: $ \rho=\rho_{0}\frac{p}{p_{0}} $

Applichiamo ora la legge di Stevino a una variazione infinitesima di quota dz:

$ \frac{dp}{dz}=-\rho g= -g\rho_{0}\frac{p}{p_{0}} $

Quindi, separando le variabili e lasciando a destra la costante, abbiamo l'equazione differenziale a variabili separabili:

$ \frac{dp}{p}=-g\frac{\rho_{0}}{p_{0}}dz $

Definisco $ a=\frac{p_{0}}{g\rho_{0}} \simeq 8 km $ (ho sostituito i valori, tutti noti), e chiamo a altezza di scala (ovvero distanza entro cui una grandezza varia di un fattore e).

A questo punto riscrivo la differenziale come:

$ \frac{dp}{p}=-\frac{dz}{a} $

Integro p tra $ p_{0} $ e p, e z tra 0 e z.

$ \int_{p_{0}}^p \frac{dp}{p} = -\frac{1}{a}\int_0^z dz \rightarrow ln\frac{p}{p_{0}}=-\frac{z}{a} \rightarrow p=p_{0}e^{-\frac{z}{a}} $

Ottenuta tale relazione, ti basterà sostituire i valori di a, z (ovvero h) e $ p_{0} $ per ottenere il risultato cercato.

Tale metodo è più lungo e articolato solo se dimostri la formula. Se invece prendi per buoni i calcoli e consideri solo l'ultima formula è decisamente più veloce dell'altro e necessiti di meno dati per risolverlo.

 

Spero il primo metodo ti sia stato utile e il secondo ti abbia incuriosito, resto a disposizione per ogni eventuale dubbio. Buono studio e buon rientro a scuola. 😀