Potrei avere una mano su questo,non riesco a risolverlo

a.  dalla figura deduciamo che f(1) = 1 per cui

$ e^{1+k} = 1 \quad \implies \quad 1+k = 0 \quad \implies \quad k = -1$

D'ora in poi la funzione da considerare sarà 

$ f(x) = e^{\frac{x-1}{x}}$

b.

• Dominio = ℝ \ {0}. La funzione nel suo dominio è continua e derivabile
• Immagine di f(x). Non capisco se lo si deduce dal grafico oppure occorre dimostrarlo. Dimostriamolo:
  • • $\displaystyle\lim_{x \to 0^- } f(x) = +\infty$ in altre parole il Sup di f(x) è + ∞
    • $\displaystyle\lim_{x \to 0^- } f(x) = 0^+ $ in altre parole l' Inf di f(x) è 0
    • $\displaystyle\lim_{x \to \pm \infty } f(x) = e $ siamo in presenza di un asintoto orizzontale di equazione y = e

Applicando il teorema dei valori intermedi segue che 

• Imm.f(x) = {y∈ℝ | y > 0 ∧ y ≠ e}

Intervalli di crescenza.

• Derivata prima. $f'(x) = \frac{e^{1-\frac{1}{x}}}{x^2}$
• La derivata prima è positiva per ogni valore di x ergo la funzione è crescente negli intervalli che caratterizzano il dominio, cioè (-∞,0) e (0,+∞) 
• La funzione è strettamente crescente quindi è bigettiva all'interno di ogni intervallo, c'è quindi l'inversa.

Seguiamo i soliti tre passi:

1. Riscriviamo la funzione nella forma $ y = e^{\frac{x-1}{x}}$
2. Scambiamo tra di loro le variabili $ x = e^{\frac{y-1}{y}}$
3. Risolviamola in termini di y

$ ln(x) = \frac{y-1}{y} $

$ yln(x) - 1) = -1 $

$ y = \frac{1}{1-ln(x)}$