[Risolto] Posizioni reciproche di due circonferenze

RIPASSO
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L'equazione dell'asse radicale "r" di due circonferenze Γ1 (di centro C1 e raggio r1) e Γ2 (di centro C2 e raggio r2) è la differenza fra le loro equazioni in forma normale canonica
* r ≡ Γ1 - Γ2 ≡ Γ2 - Γ1
e risulta ortogonale al loro asse centrale "s", come si vede verificando che le pendenze di "r" ed "s" siano antinverse, ovvero che "r" ed "s" siano parallele ciascuna a un diverso asse coordinato.
L'asse centrale di Γ1 e Γ2 è la retta "s" su cui giace il segmento C1C2, di lunghezza "d", che congiunge i due centri
* C1C2 giace su "s" ed è lungo d = |C1C2|
centri e raggi si rilevano dalle equazioni di Γ1 e Γ2 in forma normale standard.
Se la somma (r1 + r2) dei raggi è minore della distanza fra i centri (r1 + r2 < d) allora non ci sono punti comuni fra Γ1 e Γ2, altrimenti li si determina come soluzioni del sistema fra una circonferenza e l'asse radicale.
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RISOLUZIONE
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A) Calcoli preliminari
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Dalle equazioni date
* Γ1 ≡ 2*x^2 + 2*y^2 - 6*x - 5*y - 8 = 0
* Γ2 ≡ x^2 + y^2 - 4*y - 1 = 0
si ricavano le forme canoniche
* Γ1 ≡ x^2 + y^2 - 3*x - (5/2)*y - 4 = 0
* Γ2 ≡ x^2 + y^2 - 4*y - 1 = 0
e le forme standard, con centri e raggi
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* Γ1 ≡ x^2 - 3*x + y^2 - (5/2)*y - 4 = 0 ≡
≡ (x - 3/2)^2 - (3/2)^2 + (y - 5/4)^2 - (5/4)^2 - 4 = 0 ≡
≡ (x - 3/2)^2 + (y - 5/4)^2 = (5*√5/4)^2
* r1 = 5*√5/4
* C1(3/2, 5/4)
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* Γ2 ≡ x^2 + y^2 - 4*y - 1 = 0 ≡
≡ x^2 + (y - 2)^2 - 2^2 - 1 = 0 ≡
≡ x^2 + (y - 2)^2 = (√5)^2
* r2 = √5
* C2(0, 2)
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B) Risposte ai quesiti
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"asse radicale"
* r ≡ Γ1 - Γ2 ≡
≡ (x^2 + y^2 - 4*y - 1) - (x^2 + y^2 - 3*x - (5/2)*y - 4) = 0 ≡
≡ y = 2*(x + 1)
di pendenza
* m = 2
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"asse centrale"
Il segmento di estremi C1(3/2, 5/4) e C2(0, 2) è lungo
* d = 3*√5/4
e giace sulla retta
* s ≡ y = 2 - x/2
di pendenza
* m' = - 1/2
e con ciò l'ortogonalità è verificata.
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"posizioni reciproche"
* r1 + r2 < d ≡
≡ 5*√5/4 + √5 < 3*√5/4 ≡
≡ 9 < 3 ≡ FALSO
quindi Γ1 e Γ2 sono secanti.
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"eventuali punti comuni"
* (y = 2*(x + 1)) & (x^2 + (y - 2)^2 = 5) ≡
≡ A(- 1, 0) oppure B(1, 4)
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C) Rappresentazione grafica
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5B%28-y%2B2*%28x%2B1%29%29*%28-y%2B2-x%2F2%29%3D0%2C2*x%5E2%2B2*y%5E2-6*x-5*y-8%3D0%2Cx%5E2%2By%5E2-4*y-1%3D0%5D

Ciao Sofia.

Le due circonferenze sono date nella forma implicita:

x^2 + y^2 - 4·y - 1 = 0

L'altra è:

x^2 + y^2 - 3·x - 5·y/2 - 4 = 0 (ho diviso per 2)

Da esse si deve sapere riconoscere il loro centro ed il loro raggio.

Riguardo la prima:

C1(0,2)----->α = 0,β = 2

r = √(α^2 + β^2 - c)

r = √(0^2 + 2^2 - -1)--->r = √5

Analogamente:

C(3/2,5/4)

r = √((3/2)^2 + (5/4)^2 - (-4)) = 5·√5/4

L'asse radicale passa per i loro due punti di intersezione. Si può ottenere sottraendo la seconda dalla prima equazione implicita delle due circonferenze:

(x^2 + y^2 - 4·y - 1 = 0) - (x^2 + y^2 - 3·x - 5·y/2 - 4 = 0)

Quindi ha equazione:

3·x - 3·y/2 + 3 = 0 (implicita)

y = 2·x + 2 (esplicita)

L'equazione della retta per i due centri è:

(y - 2)/(x - 0) = (5/4 - 2)/(3/2 - 0)

ossia

(y - 2)/x = - 1/2

y = 2 - x/2 (forma esplicita)

Si riconosce quindi che l'asse radicale e la retta per i due centri sono fra loro perpendicolari risultando m=2 ed m'=-1/2.

Le due circonferenze

x^2 + y^2 - 4·y - 1 = 0

L'altra è:

x^2 + y^2 - 3·x - 5·y/2 - 4 = 0 (ho diviso per 2)

C1(0,2)----->α = 0,β = 2

r = √(α^2 + β^2 - c)

r = √(0^2 + 2^2 - -1)--->r = √5

C(3/2,5/4)

y = 2·x + 2

(y - 2)/(x - 0) = (5/4 - 2)/(3/2 - 0)

ossia

(y - 2)/x = - 1/2

Volevo completare quanto ho già detto in precedenza.

La posizione reciproca di due luoghi geometrici consiste nel vedere se sono verificate le seguenti condizioni: a) i due luoghi geometrici si intersecano in uno o più punti; b) sono tra loro tangenti in qualche punto; c) non si intersecano in alcun punto.

Nel nostro caso abbiamo due circonferenze. Se le mettiamo a sistema si ottiene per differenza:

{x^2 + y^2 - 4·y - 1 = 0

{x^2 + y^2 - 3·x - 5·y/2 - 4 = 0

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3·x - 3·y/2 + 3 = 0 ossia y = 2·x + 2

Ora deve essere chiaro che la soluzione del sistema:

{x^2 + y^2 - 4·y - 1 = 0

{y = 2·x + 2

porta ad una equazione di secondo grado:

x^2 + (2·x + 2)^2 - 4·(2·x + 2) - 1 = 0

x^2 + (4·x^2 + 8·x + 4) - (8·x + 8) - 1 = 0

5·x^2 - 5 = 0

In tal caso abbiamo un'equazione pura che ha:

Δ = b^2 - 4·a·c --->Δ = 0^2 - 4·5·(-5)--->Δ = 100 >0 e quindi 2 radici reali e distinte.

Quindi le due circonferenze si intersecano  in due punti.

5·(x + 1)·(x - 1) = 0---->x = -1 ∨ x = 1

Per x=-1:

y = 2·(-1) + 2---->A(-1,0)

Analogamente :

y = 2·1 + 2 ---> B(1,4)

e per tali punti passa l'asse radicale.