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[Risolto] decomposizione in fratti semplici

  

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Salve a tutti , qualcuno potrebbe aiutarmi?

scomporre in fratti semplici 1/(1+x^3)

avevo pensato di trovare le radici in forma esponenziale . A questo punto scriverle in forma algebrica e poi procedere al calcolo dei coefficienti c_n . Però non sono sicuro sia corretto.

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3 Risposte
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* 1/(x^3 + 1) = (2 - x)/(3*(x^2 - x + 1)) + 1/(3*(x + 1))
imperocché da
* x^3 + 1 = (x + 1)*(x^2 - x + 1)
si cercano i coefficienti (a, b, c) tali che
* (a*x + b)/(x^2 - x + 1) + c/(x + 1) = 1/(x^3 + 1) ≡
≡ (a*x + b)*(x + 1) + c*(x^2 - x + 1) = 1 ≡
≡ a*x^2 + a*x + b*x + b + c*x^2 - c*x + c - 1 = 0 ≡
≡ (a + c)*x^2 + (a + b - c)*x + (b + c - 1) = 0 ≡
≡ (a + c = 0) & (a + b - c = 0) & (b + c - 1 = 0) ≡
≡ (a = - 1/3) & (b = 2/3) & (c = 1/3)
da cui la decomposizione richiesta.

Grazie mille!




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Ti dò solo la dritta giusta, ma i calcoli li lascio a te.

 

Essendo  1 + x^3 = (x + 1)(x^2 - x + 1)

 

decomponi come    A/(x+1) + (Bx + C) /(x^2 - x + 1)

usando il principio di identità dei polinomi

A(x^2 - x + 1) + (Bx + C)(x + 1) = 1   per ogni x.

 

Buon lavoro.

Sisi , a me interessava soltanto la tecnica.

Ho fatto in questo modo e ho trovato 3 zeri , due complessi coniugati quindi differiscono solo per il segno della parte immaginaria. Infinite ho calcolato:
A/(X-Xo) con xo reale cioè -1 
e infine per i due complessi coniugati ho considerato la formula che consente di considerare un unico zero ed unire i due fratti (in caso di zeri complessi coniugati ) . 

 

Ok. Il resto dipende un pò da quello a cui ti serve questa operazione.

Immagino che sia il calcolo di un Integrale, solo perché per scrivere le trasformate di Laplace si usa s invece di x.

esatto , proprio così

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Con la dritta degli altri responsori hai:

1/(x^3 + 1) = a/(x + 1) + (b·x + c)/(x^2 - x + 1)

Quindi (lasciando qualche calcolo a te:

1/(x^3 + 1) = (x^2·(a + b) - x·(a - b - c) + a + c)/((x + 1)·(x^2 - x + 1))

da cui, per il principio di identità dei polinomi:

x^2·(a + b) - x·(a - b - c) + a + c = 1

che ti porta al sistema:

{a + b = 0

{a - b - c = 0

{a + c = 1

Lasciando a te ancora qualche calcolo, hai la soluzione:

a = 1/3 ∧ b = - 1/3 ∧ c = 2/3

cioè:

1/3/(x + 1) + ((- 1/3)·x + 2/3)/(x^2 - x + 1)

1/(3·(x + 1)) + (2 - x)/(3·(x^2 - x + 1))

1/(3·(x + 1)) + (2/(3·(x^2 - x + 1)) - x/(3·(x^2 - x + 1)))

ed in definitiva:

- x/(3·(x^2 - x + 1)) + 2/(3·(x^2 - x + 1)) + 1/(3·(x + 1))

 

 

 






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