trigonometria

Question

Data la semicirconferenza di centro O e raggio unitario, prolunga il diametro A B di un segmento  overline {B C}=1$ e congiungi il punto C con i punti P e Q della semicirconferenza tali che C  widehat {O} Q=2 . C  widehat {O} P. Indicato con x l'angolo C  widehat {O} P, determina l'espressione della funzione: f(x)= frac { overline {Q C}^{2}- overline {P C}^{2}}{2  overline {Q P}^{2}} Rappresenta il grafico di f(x)$ ed evidenzia il tratto relativo al problema. Indipendentemente dal problema geometrico, risolvi la disequazione f(x)  leq 0  left [f(x)=2  cos x+1,0<x  leq  frac { pi }{2} ;  frac {2}{3}  pi +2 k  pi  leq x  leq  frac {4}{3}  pi +2 k  pi  right ]  [attach]7388[/attach]

pigrec · Accepted Answer

quadrati dei segmenti Q C e P C si possono determinare con il teorema di Carnot applicato ai triangoli Q B C e P B C, una volta determinati in funzione di x i lati Q B e P B, in quanto basi di triangoli isosceli di lati obliqui unitari e angoli al vertice $2 x e x rispettivamente: Q B=2  sin x P B=Q P=2  sin ( frac {x}{2}) Tenendo conto che  angle Q B C=90^{ circ }+x e  angle P B C=90^{ circ }+x / 2$, e che in generale  cos (90^{ circ }+ alpha )=- sin ( alpha )$, il teorema di Carnot ci fornisce:  begin {array}{r}Q C^{2}=4  sin ^{2} x+1+4  sin ^{2} x=8  sin ^{2} x+1  P C^{2}=4  sin ^{2}(x / 2)+1+4  sin ^{2}(x / 2)=8  sin ^{2}(x / 2)+1 end {array} Pertanto: f(x)= frac {(Q C^{2}-P C^{2})}{2(Q P^{2})}= frac { sin ^{2} x- sin ^{2}(x / 2)}{ sin ^{2}(x / 2)}= frac { sin ^{2} x}{ sin ^{2}(x / 2)}-1 Utilizzando alcune note formule goniometriche si può ulteriormente semplificare l'espressione: f(x)= frac {4  sin ^{2}(x / 2)  cos ^{2}(x / 2)}{ sin ^{2}(x / 2)}-1=4  cos ^{2}(x / 2)-1=2  cos x+1

[Risolto] trigonometria

Domande