L'equazione $x^{2}+\frac{4 x^{2}}{(x+2)^{2}}=2021$ ha quattro radici reali. La differenza tra la più grande e la più piccola è ben approssimata da un numero intero. Quale?
Risultato: 90
L'equazione $x^{2}+\frac{4 x^{2}}{(x+2)^{2}}=2021$ ha quattro radici reali. La differenza tra la più grande e la più piccola è ben approssimata da un numero intero. Quale?
Risultato: 90
17
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Livello 0
infatti l'equazione data può essere riscritta come
x² (x²+4x+8)/(x²+4x+4) = 2021
Osserviamo che il secondo fattore è ben approssimato da 1 per le x non appartenenti ad un intorno di x=-2 dove la funzione non è definita. In questo caso due radici sono approssimate dalla
x² = 2021
x₁,₂ = ± 44,96... ≈ ± 45
per la differenza tra le due radici è approssimata dal numero intero positivo 90.
Rimane da provare che trattasi della minore e maggiore radice.
Sappiamo che il termine noto di un polinomio è pari al prodotto delle sue radici; associamo alla funzione il polinomio corrispondente. A noi interessa il solo termine noto quindi
x⁴+4x³+8x² = 2021x²+8084x+4*2021
Il termine noto risulta essere -4*2021.
Il coefficiente di x³, cioè +4 non è altro che l'opposto della somma delle 4 radici, quindi
x₁+x₂+x₃+x₄ = - 4
45-45+x₃+x₄ = - 4
Abbiamo così un sistema di due equazione nelle incognite x₃, x₄
{x₃*x₄ = +4
{x₃+x₄ = -4
le cui soluzione sono x₃=-2 & x₄=-2
Possiamo così concludere che le altre due radici sono negative e valgono circa -2 per cui
x₁,₂ ≈ ± 45
sono proprio la minima e la massima radice.
21742
punti
Livello 6
@cmc grazie per la risposta