[Risolto] poligoni circoscritti ad una circonferenza

Ciao!

Sappiamo che il raggio della circonferenza inscritta è dato da

$ r = \frac{b \cdot  h }{ 2p} $ 

dove $b=$base, $h=$altezza, $2p =$perimetro. 

Possiamo esprimere tutti questi dati rispetto ad un'unica variabile:

chiamiamo $AC = x$, si ha:

$ 2p = 25+30+x = 55+x$

$h = AH $, $b = BC = 30 \ cm$

Per calcolare $AH$ usiamo il dato sulla proiezione di $AC$ su $BC$ :

$ AC = \frac53 CH \Rightarrow CH = \frac35 AC$

Quindi, dato che la proiezione forma sempre un angolo retto, possiamo usare il teorema di pitagora sul triangolo $AHC$:

$AH = \frac{AC^2-CH^2} = \frac{AC^2-(\frac35 AC)^2} = $

$= \frac{AC^2-\frac{9}{25} AC^2} = \frac{ \frac{16}{25} AC^2} = \frac45 AC = \frac45 x $

Quindi, dal raggio della circonferenza inscritta:

$4 = \frac{ 30 \cdot \frac45 x }{55+x} $

$220+4x   = 24 x $

$20 x = 220 $

$ x = 11 \ cm $

Quindi il perimetro è $55+11= 66 \ cm$

mentre l'area è $\frac{ 30 \cdot \frac45 \cdot 11 }{2} = 132 \ cm^2$