pls aiutatemi

@ciao_ 

In alternativa a quanto esposto da @stefanopescetto determino l'asse radicale:

"L'asse radicale è la retta la cui equazione si ottiene dalla sottrazione membro a membro delle due equazioni delle circonferenze generatrici (o di qualunque due circonferenze distinte del fascio). L'asse radicale risulta sempre perpendicolare all'asse centrale e passa per i punti base, nel caso essi siano presenti."

x^2 + y^2 - 2·x - 9 = 0

x^2 + y^2 + 4·x - 2·y - 35 = 0

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Sottraggo la prima dalla seconda:

6·x - 2·y - 26 = 0------> 2·(3·x - y - 13) = 0-------> 3·x - y - 13 = 0

Che metto a sistema con una qualsiasi delle due:

{x^2 + y^2 - 2·x - 9 = 0

{3·x - y - 13 = 0

Risolvo per sostituzione:

y = 3·x - 13

x^2 + (3·x - 13)^2 - 2·x - 9 = 0

x^2 + (9·x^2 - 78·x + 169) - 2·x - 9 = 0------> 10·x^2 - 80·x + 160 = 0

x^2 - 8·x + 16 = 0----->(x - 4)^2 = 0 quindi in x=4 l'asse radicale è tangente ad entrambe le circonferenze

nel punto x=4 ed ordinata y = 3·4 - 13----> y = -1 quindi in T(4,-1)

L'asse dei centri è ad esso perpendicolare e passa per T(4,-1)

y + 1 = - 1/3·(x - 4)------> y = 1/3 - x/3

I centri delle due circonferenze hanno coordinate (1,0) e (-2,1) che, rispetto all'asse radicale stanno nel semipiano a sinistra e quindi sono tangenti internamente.

Le circonferenze di centri C1 e C2 sono tangenti internamente nel punto T, sull'asse centrale, se e solo se il modulo della differenza fra i loro raggi (| |TC1| - |TC2| |) è uguale alla distanza tra i loro centri (|C1C2|).
Perciò la verifica consiste nel ricavare le coordinate di quei tre punti dalle equazioni date e poi farci su i calcoletti indicati dalla condizione.
Dalle equazioni date nella forma normale canonica
* Γ ≡ x^2 + y^2 + 2*a*x + 2*b*y + c = 0
si ricava, per completamento dei quadrati, la forma normale standard
* Γ ≡ (x - a)^2 + (y - b)^2 = q = r^2
da cui leggere le proprietà geometriche:
* raggio r (o q = r^2)
* centro C(a, b).
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* (x^2 + y^2 - 2*x - 9 = 0) & (x^2 + y^2 + 4*x - 2*y - 35 = 0) ≡
≡ ((x - 1)^2 - 1^2 + y^2 - 9 = 0) & ((x + 2)^2 - 2^2 + (y - 1)^2 - 1^2 - 35 = 0) ≡
≡ ((x - 1)^2 + y^2 = (√10)^2) & ((x + 2)^2 + (y - 1)^2 = (2*√10)^2)
quindi
* C1(1, 0); r1 = √10
* C2(- 2, 1); r2 = 2*√10
* d = |C1C2| = √10
* m = |r1 - r2| = |√10 - 2*√10| = √10
LA VERIFICA RICHIESTA E' ANDATA A BUON FINE.
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INFINE
* (x^2 + y^2 - 2*x - 9 = 0) & (x^2 + y^2 + 4*x - 2*y - 35 = 0) ≡
≡ (x^2 + y^2 = 2*x + 9) & (x^2 + y^2 = 35 - 4*x + 2*y) ≡
≡ (x^2 + y^2 = 2*x + 9) & (2*x + 9 = 35 - 4*x + 2*y) ≡
≡ (x^2 + y^2 = 2*x + 9) & (y = 3*x - 13) ≡
≡ (y = 3*x - 13) & (x^2 + (3*x - 13)^2 = 2*x + 9) ≡
≡ (y = 3*x - 13) & (10*(x - 4)^2 = 0) ≡
≡ (x = 4) & (y = - 1) ≡
≡ T(4, - 1)