Determina l'equazione dell'iperbole equilatera, riferita agli assi e avente centro nell'origine, che individua sulla retta $y=3$ un segmento di misura 8. Trova poi l'equazione della tangente all'iperbole nel suo punto $A$ del primo quadrante di ascissa 3 e quella nel punto $B$ del terzo quadrante di ascissa $-3$.
$$
\left[x^{2}-y^{2}=7 ; 3 x-\sqrt{2} y-7=0 ; 3 x-\sqrt{2} y+7=0\right]
$$
5
punti
Livello 0
Ciao e benvenuto.
x^2 - y^2 = k^2 da determinare k^2
A sistema:
{x^2 - y^2 = k^2
{y = 3
Risolvi: x^2 - 3^2 = k^2----->x^2 = k^2 + 9-----> x = - √(k^2 + 9) ∨ x = √(k^2 + 9)
L'iperbole ha simmetria rispetto all'asse delle y (cioè x=0)
Quindi il segmento intercettato vale: 2·√(k^2 + 9) = 8
Quindi:4·(k^2 + 9) = 64 (elevando al quadrato)
Risolvo: k = - √7 ∨ k = √7 equazione iperbole: x^2 - y^2 = 7
-----------------------------------------------------------------
Sistema:
{x^2 - y^2 = 7
{x = 3
risolvo: 3^2 - y^2 = 7----> 9 - y^2 = 7------> y = - √2 ∨ y = √2
Punto del 1° quadrante: [3, √2]
Retta tangente con formule di sdoppiamento:
3·x - √2·y = 7--------> 3·x - √2·y - 7 =0
Analogamente per x=-3 (sempre per la simmetria suddetta!) y = - √2 ∨ y = √2
Punto del terzo quadrante: [-3, - √2]
- 3·x - (- √2)·y = 7----> √2·y - 3·x = 7----> 3·x - √2·y + 7 = 0
115499
punti
Genius III
@lucianop 👍👍👍
Da capire c'è poco e nulla; di altre cose ce ne sono un bel po'.
------------------------------
C'E' DA RAMMENTARE
La definizione di "iperbole equilatera riferita agli assi e centrata nell'origine" la sai o no? Se non la sai allora devi ripassare
* Γx ≡ (x/k)^2 - (y/k)^2 = - 1 (fuochi sull'asse y)
oppure
* Γy ≡ (x/k)^2 - (y/k)^2 = + 1 (fuochi sull'asse x)
------------------------------
C'E' UNA SOLA FRASE DA CAPIRE
Sai cosa significa "conica che individua sulla retta y = 3 un segmento di misura 8"? Se non la sai allora te lo spiego: significa che la retta y = 3 stacca, su almeno una delle Γ, una corda lunga otto. La lunghezza della corda è la distanza fra due intersezioni reali e distinte.
------------------------------
C'E' DA RAMMENTARE
Come si calcola una distanza lo sai o no? Se non lo sai allora devi ripassare.
La distanza d fra due dati punti A(a, p) e B(b, q) è
* per a = b: d = |p - q|
* per p = q: d = |a - b|
* altrimenti: d = √((a - b)^2 + (p - q)^2)
------------------------------
C'E' DA SAPER APPLICARE PROCEDURE DI CALCOLO
Sai determinare le intersezioni fra una retta e una conica? Se non lo sai fare allora te lo spiego: si tratta di calcolare le soluzioni di un sistema di secondo grado.
---------------
Sai determinare la retta tangente una conica Γ in un punto T dato? Se non lo sai fare allora te lo spiego: si tratta di trovare la retta polare del polo T rispetto la conica Γ applicando alla sua forma normale canonica lo sdoppiamento rispetto T.
------------------------------
TUTTO CIO' DOVREBBE AIUTARTI PER UN BUON NUMERO DI ALTRI ESERCIZI.
==============================
QUESTO ESERCIZIO
---------------
Equazione
Con u = k^2 si ha
* Γ ≡ x^2 - y^2 = ± k^2 = ± u
--------
* (y = 3) & (x^2 - y^2 = ± u) ≡
≡ (y = 3) & (x^2 = 9 ± u) ≡
≡ (y = 3) & (x = √(9 ± u))
--------
* d = |a - b| = 2*√(9 ± u) = 8 ≡
≡ (2*√(9 - u) = 8) oppure (2*√(9 + u) = 8) ≡
≡ (u = - 7) oppure (u = 7) ≡
≡ k^2 = 7 (k è una lunghezza!)
--------
* Γ ≡ x^2 - y^2 = 7 ≡ x^2 - y^2 - 7 = 0
---------------
Punri di tangenza
* A(+ 3, y > 0): 9 - y^2 - 7 = 0 ≡ y = + √2 → A(+ 3, + √2)
* B(- 3, y < 0): 9 - y^2 - 7 = 0 ≡ y = - √2 → B(- 3, - √2)
---------------
Rette tangenti
* tA ≡ (+ 3)*x - (+ √2)*y - 7 = 0 ≡ y = (3*x - 7)/√2
* tB ≡ (- 3)*x - (- √2)*y - 7 = 0 ≡ y = (3*x + 7)/√2
---------------
Vedi il grafico e il paragrafo "Solutions" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5Bx%5E2-y%5E2%3D7%2C9*%28x-%28%E2%88%9A2%2F3%29*y%29%5E2%3D49%5D
57798
punti
Genius I
@exprof 👍👍👍
