[Risolto] PITAGORA E EUCLIDE

Un cateto è medio proporzionale fra l'ipotenusa e la sua proiezione sull'ipotenusa.

26 : (13/11 * x ) = (13/11)* x) : x

(169/121) * x^2 = 26 * x;

169 x^2 - (121 * 26 * x) = 0;

Si divide per 26.

6,5 x^2 - 121 x = 0;

x * ( 6,5 x - 121) = 0

x 1 = 0;

x2 = 121/6,5 = 18,6 m; questa è la proiezione del cateto.

Cateto:

C1 = 13/11 * (121/6,5) = 13 * 11/6,5 = 22 m;

altro cateto:

C2 = radice(26^2 - 22^2) = radice(192) = 13,86 m;

Area = 22 * 13,86 / 2 = 152,4 m^2.

@sofiapaola

Ciao. 

Proiezione cateto su ipotenusa la chiamo x. Il cateto quindi è 13/11*x. Applico il 1° teorema di Euclide: " il quadrato costruito su un cateto è pari al prodotto dell'ipotenusa per la proiezione del cateto stesso sull'ipotenusa"

Quindi ricavo il cateto e la sua proiezione:

(13/11·x)^2 = 26·x -------> (169·x^2 - 3146·x)/121 = 0----->  x = 242/13 ∨ x = 0

x=242/13 m è la misura della sua proiezione

13/11·(242/13) = 22 m è il cateto

Con Pitagora ottengo l'altro cateto:

√(26^2 - 22^2) = 8·√3 m  (13.86 m)

Area del triangolo:

A=1/2·(8·√3)·22 = 88·√3 m^2   (152.42 m^2)

RIPASSO SUL TRIANGOLO RETTANGOLO (se ne fai una copia, poi ti servirà)
Per la nomenclatura serve un disegno di riferimento.
Traccia una circonferenza di raggio r ed un suo diametro AB (p.es. orizzontale).
Su una semicirconferenza (p.es. quella superiore) traccia un punto C e, da C, abbassa la perpendicolare ad AB fino al piede nel punto H.
Il triangolo ABC è rettangolo in C (è inscritto in una semicirconferenza e il diametro AB è l'ipotenusa), con altezza CH, cateti AC e BC, proiezioni dei cateti AH e HB.
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NOMI E RELAZIONI
* |AB| = c = 2*r
* |AC| = b
* |AH| = t
* |BC| = a
* |BH| = s
* perimetro p = a + b + c
* area S = a*b/2 = c*h/2
* |CH| = h = a*b/c
Teoremi
Pitagora: il quadrato dell'ipotenusa è la somma dei quadrati dei cateti ≡
≡ c^2 = a^2 + b^2; b^2 = t^2 + h^2; a^2 = s^2 + h^2.
Euclide I: il cateto è medio proporzionale tra la sua proiezione e l'ipotenusa ≡
≡ a^2 = s*c; b^2 = t*c.
Euclide II: l'altezza è medio proporzionale tra le proiezioni ≡
≡ h^2 = s*t.
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IL TUO PROBLEMA
Unità di misura: lunghezza, m; superficie, m^2.
Dati
* |AB| = c = 26
* |AC|/|AH| = b/t = 13/11
calcolare l'area.
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Si risolve mettendo insieme tutte le relazioni del caso e manipolandole fino ad isolare i valori richiesti (qui, solo S)
* (c = 26) & (b/t = 13/11) & (b^2 = t*c) & (b^2 = t^2 + h^2) & (S = c*h/2) ≡
≡ (t = (11/13)*b) & (b^2 = t*26) & (b^2 = t^2 + h^2) & (S = 26*h/2) ≡
≡ (t = (11/13)*b) & (b^2 = 26*(11/13)*b) & (b^2 = ((11/13)*b)^2 + h^2) & (S = 13*h) ≡
≡ (t = (11/13)*b) & (b = 22) & (22^2 = ((11/13)*22)^2 + h^2) & (S = 13*h) ≡
≡ (b = 22) & (t = (11/13)*22) & (h = (88/13)*√3) & (S = 13*(88/13)*√3) ≡
≡ (b = 22) & (t = 242/13) & (h = (88/13)*√3) & (S = 88*√3 ~= 152.42047)

In un triangolo rettangolo ABC retto in A ed avente ipotenusa i di 26 metri, il cateto C2 è i 13/11 della sua proiezione p2 sull'ipotenusa i. Determina l'area A del triangolo 

(13/11)^2*p2^2 = p2*i

p2 si semplifica

169/121*p2 = 26

p2 = 26*121/169 = 242/13 cm

p1 = i-p2 =  26-242/13 = 96/13 cm 

h = √p1*p2 = √242*96/13^2 = 11,72465

area A = i/2*h = 13*11,72465 = 152,420 cm^2

In un triangolo rettangolo avente ipotenusa di 26 metri, un cateto è i 13/11 della sua proiezione sull'ipotenusa. Determina l'area del triangolo.

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Cateto $\small = 13x;$

proiezione del cateto $\small = 11x;$

$\small \dfrac{(13x)^2}{11x} = 26$ (dal 1° teorema di Euclide);

$\small \dfrac{169x^{\cancel2}}{11\cancel{x}} = 26$

$\small \dfrac{169}{11}x = 26$

$\small x= \cancel{26}^2·\dfrac{11}{\cancel{169}_{13}}$

$\small x= \dfrac{22}{13}$

cateto $\small = 13x = \cancel{13}·\dfrac{22}{\cancel{13}} = 22\,m;$

altro cateto $\small = \sqrt{26^2-22^2} = 8\sqrt3\,m\;(\approx{13,856}\,m);$

area $\small A= \dfrac{\cancel{22}^{11}×8\sqrt3}{\cancel2_1} = 11·8\sqrt3 \approx{152,42}\,m^2.$