Sia data una circonferenza di raggio r e centro O. Fissati un suo diametro AB e un punto C su di essa, siano t la retta tangente alla circonferenza in C e s la retta per O e perpendicolare al diametro AB. Detto D il punto di interzesione tra le due rette, determina l'angolo BOC in modo che la differenza tra l'area del triangolo AOD e la metà dell'area del triangolo COD sia minima. (BOC = pigreco/3)
3
punti
Livello 0
Il segmento OD misura la cosecante (x)---->CSC(x) = 1/SIN(x) per r ≠ 1 si ha =r/SIN(x)
Superficie di AOD=1/2·r·(r/SIN(x)) = r^2/(2·SIN(x))
superficie COD=1/2·(r/SIN(x))·(r·COS(x)) = r^2·COT(x)/2
Quindi bisogna trovare il minimo della funzione:
y=r^2/(2·SIN(x))-r^2·COT(x)/4 ----->y = r^2·(2 - COS(x))/(4·SIN(x))
Possiamo quindi calcolare il minimo della nuova funzione: y = (2 - COS(x))/SIN(x)
la derivata è: y'=dy/dx = (SIN(x)·SIN(x) - COS(x)·(2 - COS(x)))/SIN(x)^2
y' = (1 - 2·COS(x))/SIN(x)^2 ---->y'=0----> 1 - 2·COS(x)=0
COS(x)=1/2 ----->x=60°=pi/3
Allego foto nella situazione ottimale:
115471
punti
Genius III
