piramide

@luigi2

Ciao.

Faccio riferimento al triangolo rettangolo in D che è ADE.

Pongo:

x=AD= base maggiore del trapezio e cateto triangolo rettangolo

y=DE= altro cateto triangolo rettangolo.

Quindi scrivo un sistema di tre equazioni nelle tre incognite x,y,r

{1/2·x·y = r/2·(x + y + 52)

{52 = √(x^2 + y^2)

{r = 1/6·x

(la 1^ equazione indica un doppio modo per il calcolo dell'area del triangolo rettangolo; la 2^ è il teorema di Pitagora; la 3^ è dato dal testo)

Risolvo ed ottengo (lo lascio fare a te come esercizio):

[x = 0 ∧ y = 52 ∧ r = 0, x = 0 ∧ y = -52 ∧ r = 0, x = 48 ∧ y = 20 ∧ r = 8, x = -52 ∧ y = 0 ∧ r = - 26/3]

L'unica soluzione è quella in grassetto. Quindi:

x=AD= base maggiore= 48 cm

r= raggio del cerchio inscritto al triangolo rettangolo= base minore=BC= 8 cm

Ho risposto quindi alla 1^domanda. Se ho tempo e voglia proseguo nel pomeriggio.

NEL TRAPEZIO ABCD, RETTANGOLO IN C ED in  D, LA BASE MINORE BC E' UN SESTO DELLA MAGGIORE AD E IL PUNTO E PRESO SU CD DISTA cm 52 DAL PUNTO A. Sapendo che il raggio della circonferenza inscritta nel triangolo AED e' uguale a BC determinare la misura delle basi del trapezio

AD^2 = 52^2-DE^2

raggio r = AD/6 = AD*DE / (AD+DE+52)  (doppia area/perimetro)

AD(AD+DE+52) = 6*AD*DE

AD si semplifica

AD+DE+52 = 6DE

AD = 5DE -52

AD^2 = (5DE -52)^2

52^2-DE^2 = 25DE^2+52^2-520DE

520DE = 26DE^2 

DE = 520/26 = 20 cm

AD = √52^2-20^2 = 48 cm

BC = AD/6  = 48/6 = 8 cm = raggio 

Passo ora al quadrilatero ABCE. Se è circoscritto ad una circonferenza, deve essere:

AE+BC=EC+AB=52+8=60 cm

Quindi scriviamo, posto u =EC il sistema:

{ AB=60-u

{AB= √((48 - 8)^2 + (20 + u)^2)

Quindi                         60 - u = √(1600 + (u^2 + 40·u + 400))

Risolvi ed ottieni:  u = EC =  10 cm

Quindi:

AB=60-10=50 cm

Area quadrilatero ABCE

[48, 0]

[8, 30]

[0, 30]

[0, 20]

[48, 0]

Α = 1/2·ABS(48·30 + 8·30 + 0·20 + 0·0 - (48·20 + 0·30 + 0·30 + 8·0)) ---------> Α = 360 cm^2

Calcolo raggio R del cerchio inscritto al quadrilatero

360 = 1/2·R·(10 + 8 + 50 + 52)------>  360 = 60·R-------->   R = 6 cm

Altezza  piramide base triangolare  h=R=6 cm

Apotema piramide base triangolare : √(h^2 + r^2) = √(6^2 + 8^2) = 10 cm

Superficie laterale piramide a base triangolare=

 perimetro base * apotema/2 =120*10/2=600 cm^2

Nello stesso modo calcoli l’area laterali della piramide a base quadrilatera