la base di una piramide e' un triangolo rettangolo ABC in cui il rapporto dei cateti AB e AC e' 3/4
e l ipotenusa misura 15sqrt2
si sa che il piano VBC PERPENDICOLAre al piano di base che il piede dell altezza coincide con il punto medio dell ipotenusa e che l altezza della piramide e' 10sqrt2
calcola la superficie totale della piramide il volume e la distanza dal vertice della piramide a cui bisogna condurre un piano parallelo alla base in modo che la piramide sezione ed il tronc0 di piramide siano equivalenti
Ciao. Se il rapporto trai cateti è AB/AC =3/4, significa che la base della piramide è costituita da spigoli che sono proporzionali ai numeri (3,4,5) cioè formanti una terna pitagorica derivata da questa terna primitiva.
Siccome l'ipotenusa BC vale 15·√2, il rapporto di similitudine fra i due triangoli rettangoli deve essere:
15·√2/5 = 3·√2
Quindi gli spigoli di base della piramide valgono:
AB=9·√2 cm; AC = 12·√2 cm e BC = 15·√2
Quindi ti conviene assumere un sistema particolare di riferimento ortogonale spaziale (x,y,z) che ti permetta di stabilire le coordinate spaziali dei vertici della piramide con cui poi risolvere il tuo problema. Provaci...
Ci hai provato?
Il punto medio D dello spigolo di base BC ha coordinate D(9/2·√2, 6·√2, 0)
avendo posto le altre 3 date da:
A(0,0,0) ; B(9·√2, 0, 0) e C(0,12·√2, 0)
Il vertice V della piramide quindi ha coordinate: V(9/2·√2, 6·√2, 10·√2)
A questo punto penso, che il problema puoi risolverlo anche tu.. o no?
Ti dico l'area di base della piramide=1/2·AB·AC = 1/2·(9·√2)·(12·√2) = 108 cm^2
Il volume è:
1/3·108·10·√2 = 360·√2 cm^3
e ti lascio il grafico su cui tu puoi ragionarci sopra per rispondere ai punti seguenti.
La piramide con area di base S e altezza h ha il volume V che è un terzo di quello del prisma corcoscritto * V = h*S/3 Sezionandola con un piano parallelo alla base a distanza d dal vertice della piramide, quindi con un rapporto di similitudine 0 < k = d/h < 1, si hanno le superficie corrispondenti in rapporto k^2 e i volumi in rapporto k^3; pertanto si ottengono i volumi di * piramide sezione Vs = (h*S/3)*k^3 * tronco residuo Vt = V - Vs = h*S/3 - (h*S/3)*k^3 = (h*S/3)*(1 - k^3) La condizione richiesta si traduce nell'equazione * Vs = Vt ≡ (h*S/3)*k^3 = (h*S/3)*(1 - k^3) ≡ ≡ k = d/h = 1/2^(1/3) ≡ ≡ d = h/2^(1/3) ~= 0.7937*h ~= (4/5)*h ------------------------------ NEL CASO IN ESAME Il rapporto 3/4 fra i cateti indica lati (a, b, c) proporzionali alla minima terna pitagorica * (a, b, c) = k*(3, 4, 5) e il dato c = 15*√2 = 5*k ≡ k = 3*√2 dà * (a, b, c) = (9*√2, 12*√2, 15*√2) --------------- L'area di base è il semiprodotto dei cateti * S = a*b/2 = 108 --------------- L'altezza è * h = 10*√2 da cui * V = h*S/3 = 360*√2 * d = h/2^(1/3) = 10*√2/2^(1/3) = 5*2^(7/6) ~= 11.22
