Piano cartesiano e retta

m(x+1) + (2 - y) = 0

 

Quindi fascio proprio di centro:

C= ( - 1 ;2)

 

e coefficiente angolare m

 

Imponendo la condizione di appartenenza di A,B al fascio si determinano i valori del parametro m

A€ fascio <==> 4m-4=0 => m=1

B€ fascio <==> - m+6=0 => m= 6

 

Per m=0 la retta del fascio è y=2

La retta esclusa (m=inf) è x= - 1

 

La rotazione è quindi in senso antiorario 

Quindi: m<=1  v  m>=6

 

Noti i vertici posso calcolare l'area utilizzando la formula di Gauss:

A= 1/2 * | - 12 - 6 - 4 - (4+6-12)| = 20/2 = 10

 

La mediana CM è la retta passante per il centro del fascio e per il punto medio del segmento AB. Il punto medio ha coordinate: M=(1/2;1) 

L'appartenenza del punto M al fascio permette di determinare il corrispondente valore del parametro m

(3/2)m + 1 = 0  ==> m= - 2/3

 

Avendo AB coefficiente angolare m=2, la retta CH contenente l'altezza ha coefficiente angolare antireciproco m1= - 1/2

Il fascio proprio ha coefficiente angolare m.

Quindi deve essere: m= - 1/2

Centro del fascio di rette: m·x - y + m + 2 = 0

{0·x - y + 0 + 2 = 0  (preso m=0)

{1·x - y + 1 + 2 = 0  (preso m=1)

quindi

{2 - y = 0

{x - y + 3 = 0

risolvo ed ottengo: [x = -1 ∧ y = 2]------> C(-1,2)

retta AC

(y - 2)/(x + 1) = (6 - 2)/(3 + 1)----> (y - 2)/(x + 1) = 1

y = x + 3-----> m=1

retta BC

(y - 2)/(x + 1) = (-4 - 2)/(-2 + 1)----> (y - 2)/(x + 1) = 6

y = 6·x + 8-----> m=6

Se si vuole quindi che una retta del fascio intersechi la base AB: m ≤ 1 ∨ m ≥ 6

Per l'area del triangolo:

[-1, 2]

[3, 6]

[-2, -4]

[-1, 2]

Α = 1/2·ABS(- 1·6 + 3·(-4) - 2·2 - (- 1·(-4) - 2·6 + 3·2))

Α = 10

Calcolo mediana CM

Coordinate di M

{x = (-2 + 3)/2

{y = (-4 + 6)/2

M(1/2,1)

(y - 1)/(x - 1/2) = (2 - 1)/(-1 - 1/2)----> (y - 1)/(x - 1/2) = - 2/3

y = 4/3 - 2·x/3------> m=-2/3

Calcolo coefficiente angolare altezza

Coefficiente angolare AB: m = (-4 - 6)/(-2 - 3)---> m = 2

per le condizioni di perpendicolarità deve essere m=-1/2