[Risolto] piano cartesiano e retta

@Nairobii

L'asse di un segmento è la retta perpendicolare al segmento, passante per il suo punto medio.

Il punto medio del segmento AB ha coordinate:

 

M=[(xA+xB) /2 ; (yA+yB)/2] = ( - 1, - 5/2)

 

La retta contenente il segmento AB ha coefficiente angolare:

m= 9/2

 

Quindi l'asse del segmento AB ha coefficiente m_a = - 2/9

L'equazione dell'asse è:

 

y+ 5/2 = - (2/9)*(x+1)

y= - (2/9}*x - (2/9) - (5/2)

y = - (2/9)*x - 49/18

 

Un generico punto P € asse ha coordinate:

P=[xP, - (2/9)*xP - 49/18]

 

Imponendo la condizione richiesta, si ricava:

xP = 6* [ - (2/9)*xP - 49/18]

xP + (4/3)*xP = - 49/3

xP= - 7

 

Quindi: yP= - 7/6

Vedi grafico seguente

Imponi l'equidistanza di un punto P(x,y) del piano dagli estremi A e B del segmento.

ottieni una retta di equazione y = mx+q

poi considera un punto essa (x,mx+q) 

poni x=6 (mx+q)

ottieni il risultato di C

-----------------------------

√((x + 2)^2 + (y + 7)^2) = √((x - 0)^2 + (y - 2)^2)

elevo al quadrato e sviluppo:

(x^2 + 4·x + 4) + (y^2 + 14·y + 49) = x^2 + (y^2 - 4·y + 4)

x^2 + 4·x + y^2 + 14·y + 53 = x^2 + y^2 - 4·y + 4

risolvo ed ottengo l'asse:

y = - 2·x/9 - 49/18

Un suo punto è tale per cui:

x = 6·(- 2·x/9 - 49/18)

x = - 4·x/3 - 49/3

risolvo ed ottengo:

x = -7 quindi

y = - 2·(-7)/9 - 49/18-----> y = - 7/6

C(-7,-7/6)

 

 

Il luogo dei punti P(x, y) con "ascissa uguale a 6 volte l'ordinata", cioè P(x, x/6) è la retta per l'origine "y = x/6".
Anche l'asse del segmento di estremi A(- 2, - 7) e B(0, 2) è un luogo geometrico: quello dei punti P(x, y) equidistanti dagli estremi; per determinarne l'equazione basta eguagliare i quadrati di quelle distanze
* |PA|^2 = |PB|^2 ≡
≡ (x + 2)^2 + (y + 7)^2 = x^2 + (y - 2)^2 ≡
≡ (x + 2)^2 + (y + 7)^2 - x^2 - (y - 2)^2 = 0 ≡
≡ 4*x + 18*y + 49 = 0
Intersecando le due rette si ottiene il punto P richiesto
* (y = x/6) & (4*x + 18*y + 49 = 0) ≡ P(- 7, - 7/6)