[Risolto] Piano cartesiano

@tinob

ti allego risoluzione grafica del problema 

Dimostro che ABCD è un quadrato:

A(-1,1) e B(2,-1)

AB=√((-1 - 2)^2 + (1 + 1)^2) = √13

B(2,-1) e C(4,2)

BC=√((2 - 4)^2 + (-1 - 2)^2) = √13

C(4,2) e D(1,4)

CD=√((4 - 1)^2 + (2 - 4)^2) = √13

D(1,4) e A(-1,1)

AD=DA=√((1 + 1)^2 + (4 - 1)^2) = √13

I 4 lati sono congruenti.

coefficiente angolare di AB:

m=(-1 - 1)/(2 + 1) = - 2/3

coefficiente angolare di BC:

m'=(2 + 1)/(4 - 2) = 3/2

Quindi i lati AB e BC sono fra loro perpendicolari.

Coefficiente angolare di CD:

m=(4 - 2)/(1 - 4) = - 2/3

CD//AB

Coefficiente angolare di AD:

m=(1 - 4)/(-1 - 1) = 3/2

AD //BC

Quindi ABCD è quadrato.

Il punto C(4,2) è punto medio della trasformazione in oggetto:

Quindi A' si ottiene da:

{4 = (-1 + x)/2

{2 = (1 + y)/2

Risolvendo A'(9,3)

Analogamente gli altri punti:

B'(6,5)

C'coincide con C

D'(7,0)

 BDB'D' è un quadrato perché inscrivibile in una circonferenza di raggio √13, con diagonali pari al diametro della stessa, di centro C(4,2) che si intersecano fra loro perpendicolarmente.

NON HAI ANCORA LETTO IL REGOLAMENTO, VERO? beh, leggilo!
https://www.sosmatematica.it/regolamento/
Dopo ore dall'urgenza non dovrei più essere complice di reati scolastici.
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NB: "... del suo trasformato": SUO DI CHI?
A norma di grammatica italiana quel rapporto vale UNO.
Se intendevi altro avresti dovuto scrivere qualche parola in più.
LA STITICHEZZA VERBALE GENERA DOMANDE CHE SEMBRANO CRETINE (e, a volte, lo sono!), ma che in ogni caso contengono ESPRESSIONI EQUIVOCHE.
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La simmetria centrale rispetto al centro C(u, v) è la corrispondenza biunivoca
* (x' = 2*u - x) & (y' = 2*v - y)
che per C(4, 2) si particolarizza in
* (x' = 8 - x) & (y' = 4 - y)
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Applicata ai vertici
* A(- 1, 1), B(2, - 1), C(4, 2), D(1, 4)
dà luogo a
* A'(9, 3), B'(6, 5), C'(4, 2), D'(7, 0)
http://www.wolframalpha.com/input/?i=polygon%284%2C2%29%281%2C4%29%28-1%2C1%29%282%2C-1%29%284%2C2%29%287%2C0%29%289%2C3%29%286%2C5%29
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Un quadrilatero è rettangolo se e solo se il baricentro dei vertici è circumcentro
* (ABCD) ≡ (x - 3/2)^2 + (y - 3/2)^2 = 13/2
* (ABCD)' ≡ (x - 13/2)^2 + (y - 5/2)^2 = 13/2
NB: i due baricentri sono simmetrici rispetto a C e i due raggi sono eguali.
Entrambi i quadrilateri sono rettangoli simmetrici di pari circumraggio.
* (BDB'D') ≡ (x - 4)^2 + (y - 2)^2 = 13
Anche BDB'D' è rettangolo.
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Un quadrilatero è rombo se e solo se ha ortogonali le rette diagonali
* AC ≡ CA' ≡ y = (x + 6)/5 (m = 1/5)
* BD ≡ y = 9 - 5*x (m' = - 5)
* B'D' ≡ y = 35 - 5*x (m' = - 5)
* m' = - 1/m
Entrambi i quadrilateri simmetrici sono rombi.
* BB' ≡ y = (3/2)*x - 4 (m = 3/2)
* DD' ≡ y = 14/3 - (2/3)*x (m' = - 2/3)
* m' = - 1/m
Anche BDB'D' è rombo.
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Essendo rombi rettangoli tutt'e tre i quadrilateri sono quadrati.