Affinchè si abbia una traiettoria circolare, la forza deve risultare attrattiva, dunque deve essere $k<0 ;$ inoltre la costante $k$ deve essere misurata in $\mathrm{Nm}^{3}$.
a. Per calcolare il periodo $T=\frac{2 \pi}{\omega}$, dobbiamo ricavare $\omega .$ Ricordiamo che in un moto circolare l'accelerazione cen-
tripeta ha modulo $\left|a_{\mathrm{C}}\right|=R \omega^{2} ;$ in questo caso deve risultare:
$$
m \cdot R \omega^{2}=\frac{|k|}{R^{3}} \Rightarrow \omega=\frac{1}{R^{2}} \sqrt{\frac{|k|}{m}}
$$
Quindi $T=\frac{2 \pi}{\omega}=2 \pi R^{2} \sqrt{\frac{m}{|k|}}$.
b. Calcoliamo anzitutto la funzione $U(r)$ che esprime l'energia potenziale; a tal scopo dobbiamo calcolare le primitive, cambiate di segno, della componente radiale della forza:
$$
U(r)=-\int \frac{k}{r^{3}} d r=\frac{k}{2 r^{2}}+c_{1}
$$
Ponendo $c_{1}=0$ in modo che l'energia potenziale sia nulla a distanza infinita da $O$, si ha che $U(r)=\frac{k}{2 r^{2}}$, dunque l'energia potenziale della particella è $\frac{k}{2 R^{2}}$. Ricaviamo ora l'energia cinetica:
$$
v=R \omega=\frac{1}{R} \sqrt{\frac{|k|}{m}} \Rightarrow \underbrace{\frac{1}{2} m v^{2}}_{\begin{array}{c}
\text { energia } \\
\text { cinetica }
\end{array}}=\frac{|k|}{2 R^{2}}
$$
Dal momento che $k<0$ abbiamo $|k|=-k$ e dunque l'energia meccanica $E$ della particella è:
$$
E=\underbrace{-\frac{k}{2 R^{2}}}_{\begin{array}{c}
\text { energic } \\
\text { cinetica }
\end{array}}+\underbrace{\frac{k}{2 R^{2}}}_{\begin{array}{c}
\text { energia } \\
\text { poteniale }
\end{array}}=0
$$
