[Risolto] Esercizio probabilità

a. Le scelte del sig. Rossi rappresentano uno schema di Bernoulli di 5 prove indipendenti, dove il successo corrisponde alla scelta di un bar-tabacchi; quindi ogni prova avrà probabilità di successo $p=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$. Sia $X$ la variabile aleatoria che conta il numero dei successi nelle 5 prove; allora $X$ è binomiale di parametri $n=5$ e $p=\frac{2}{3}$, pertanto:
$$p=(X \leq 2)=p(X=0)+p(X=1)+p(X=2)=$$
$$
=\left(\begin{array}{l}
5 \\
0
\end{array}\right)\left(\frac{2}{3}\right)^{0}\left(\frac{1}{3}\right)^{5}+\left(\begin{array}{l}
5 \\
1
\end{array}\right)\left(\frac{2}{3}\right)^{1}\left(\frac{1}{3}\right)^{4}+\left(\begin{array}{l}
5 \\
2
\end{array}\right)\left(\frac{2}{3}\right)^{2}\left(\frac{1}{3}\right)^{3}=\frac{1}{243}+\frac{10}{243}+\frac{40}{243}=\frac{51}{243} \simeq 21 \%
$$

b. Sia $E_{i}$ l'evento «il giorno $i$ il sig. Rossi sceglie un bar-tabacchi» per $i=1,2$; allora:
$$p\left(E_{2}\right)=p\left(E_{2} \mid E_{1}\right) \cdot p\left(E_{1}\right)+p\left(E_{2} \mid \overline{E_{1}}\right) \cdot p\left(\overline{E_{1}}\right)=\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{3}+\frac{4}{5} \cdot \frac{1}{3}=\frac{2}{3} \simeq 66,7 \%$$

p = Pr [ t ] = 4/6 = 2/3 e Pr [nt] = 1/3

a) Pr [ fino a 2 successi in 5 prove ] =

= C(5,0) (2/3)^0 * (1/3)^5 + C(5,1) (2/3)^1 * (1/3)^4 + C(5,2) (2/3)^2 * (1/3)^3 =

= 1/243 + 10/243 + 40/243 = 51/243 = 17/81

 

b) per la formula della probabilità totale,

 

Pr [x2 = t] = Pr [ x2 = t |x1 = t ] * Pr [x1 = t ] + Pr [ x2 = t | x1 = nt ] * Pr [ x1 = nt ]

Hai all'inizio 4 t e 2 nt

se x1 = t, restano 3 t e 2 nt :  Pr [ x2 = t | x1 = t ] = 3/5

se x1 = nt, restano 4 t e 1 nt : Pr [ x2 = t | x1 = nt ] = 4/5

 

così Pr [x2 = t] = 3/5 * 2/3 + 4/5 * 1/3 = 2/5 + 4/15 = (6+4)/15 = 10/15 = 2/3.

 

 

 

@xeno

Ciao. Distribuzioni teoriche discrete: " problema delle prove ripetute"

X=V.A.=n° di volte che il Sig. rossi su 5 volte vada al bar+ tabacchi

p= probabilità di successo=4/6=2/3

q= probabilità di fallimento=1 - 2/3 = 1/3

La distribuzione è:

P(X=k)=COMB(n, k)·p^k·q^(n - k)

n = 5; p = 2/3;q = 1/3-----> COMB(5, k)·(2/3)^k·(1/3)^(5 - k)

P(X=0)=COMB(5, 0)·(2/3)^0·(1/3)^(5 - 0)=1/243

P(X=1)=COMB(5, 1)·(2/3)^1·(1/3)^(5 - 1)=10/243

P(X=2)=COMB(5, 2)·(2/3)^2·(1/3)^(5 - 2)=40/243

P(X=3)=COMB(5, 3)·(2/3)^3·(1/3)^(5 - 3)=80/243

P(X=4)=COMB(5, 4)·(2/3)^4·(1/3)^(5 - 4)=80/243

P(X=5)=COMB(5, 5)·(2/3)^5·(1/3)^(5 - 5)= 32/243

Quindi:

P(x<=2)=1/243 + 10/243 + 40/243 = 17/81=0.2098765432=20.98%

------------------------------------------------------

Per il secondo quesito ci devo pensare un po'.