Periodicità nello studio del segno

Question

Salve, avrei una richiesta da fare riguardante un esercizio. Mi viene chiesto di trovare i punti di minimo e massimo (locali e globali) della funzione f(x) = cos(x²), studiando il segno della derivata. f'(x) è -2xsin(x²) e devo vedere quando è maggiore di 0 ovvero quando 2xsin(x²) è minore di 0. io ho posto 2x>0 = x>0 e sin(x²) >0. poi ho posto t=x² e sin(t) > 0 per 0+2kTT<t<TT+2kTT, che poi sostituendo di nuovo x² diventa x²>2kTT e x²<TT+2TT. studiando il segno viene:

la prima x<-sqrt(2kTT) v x>sqrt(2kTT) e la seconda -sqrt(TT+2kTT)<x<sqrt(TT+2kTT). solo che qui non capisco come unire le due soluzioni per poi metterle in relazione anche con x>0 e trovare quando il tutto è negativo. in particolare ho problemi a capire come trattare la periodicità nello studio del segno, mi sapreste dare qualche consiglio?

Autore

Risposta

Elettra

(@elettra)

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9 Risposte
8 0 1

03/07/2021 10:39

cmc · Accepted Answer

y=cos(x²)

Dominio = ℝ.

Per semplificarci la vita osserviamo che la funzione è simmetrica rispetto all'asse y, ragion per cui possiamo studiarla nel semiasse positivo delle ascisse per poi estendere i risultati in quello negativo.

Simmetrie. La funzione è pari, infatti

f(-x)= cos((-x)²) = cos(x²)=f(x) quindi è simmetrica ristetto all'asse delle ordinate.

Riduciamo lo studio per x≥0.

Derivata prima. y'(x) = -2xsin(x²)
Punti stazionari. y'(x) = 0 per x=0 V x²=kπ con k∈ℕ ⇒ x = √(kn) con k∈ℕ

NB. π indica pi-greco e non n

Segno della derivata prima per x≥0
- y'(x) = 0 per x = √(k*n) con k∈ℕ
- y'(x) < 0 in (√(2k*n) < x < √((2k+1)*n)

(è decrescente analogamente al coseno)

- y'(x) > 0 in (√(2k+1)*n) < x < √((2k+2)*n)

ti riporto il grafico (un disegno vale più di mille parole)

Estendiamo i risultati a tutto ℝ

Segno della derivata prima per x≤0
- y'(x) = 0 per x = -√(k*n) con k∈ℕ
- y'(x) < 0 in (-√(2k+1*n) < x < -√((2k)*n)

(è crescente analogamente al coseno)

- y'(x) > 0 in (-√(2k+2)*n) < x < -√((2k+1)*n)

Passiamo alle domande

-) Massimi globali per x = ± √(2k*n) con k∈ℕ dove y(x) = 1

-) Minimi globali per x = ± √((2k+1)*n) con k∈ℕ dove y(x) = -1

cmc

(@cmc)

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livello:

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03/07/2021 11:41

[Risolto] Periodicità nello studio del segno

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