Perimetri e aree - Goniometria

a)

perim = 2π*12/6+12 = 4π+12

area = π*12^2/6-(12*12√2)/4 = 12^2(π/6-(√3)/4 = 12^2(2π-3√3)/12 = 12(2π-3√3)

 

b)

perim = 2π+4√2 = 2(π+2√2)

area = π*16/4-16/2 = 4π-8

 

c)

perim =2π*8/8+4√2+(8-4√2) = 2π+8

area = π*8^2/8-((4√2)^2/2) = π*8-16 = 8(π-2)

 

d)

12*2π/k = 2π ; k = 12 ; angolo = 30°

area = π*12^2/12-(12√3)/2*6/2 = 12π-18√3 = 6(2π-3√3)

perim = 2π+6+12(1-cos 30°) = 2π+6+24(2-√3) = 2(π+3+12(2-√3))

L'area di un settore circolare si ottiene moltiplicando la lunghezza dell'arco per il raggio e dividendo per 2, (come se fosse un triangolo che ha per base un arco)

L'arco si ottiene moltiplicando il raggio per l'angolo in radianti (2 pigreco è l'angolo giro).

Infatti la circonferenza è C = angolo giro * r = (2 pigreco) * r;

l'area del cerchio è: C * r / 2

A = (2 pigreco r )* r / 2 = pigreco r^2; (lunghezza arco)

figura a) 60° = 1/3 * 180° =  pigreco/3;

arco  = raggio * angolo =  12 * pigreco /3 = 4 pigreco;

Perimetro = arco + lato triangolo = 12 + 4 pigreco;

Area settore = arco * raggio /2 = 4 pigreco * 12 /2 = 24 pigreco;

area triangolo equilatero = 12 * [12 rad(3)/2] / 2 = 6 * 6 * rad(3) = 36 rad(3);

Area parte colorata = 24 pigreco - 36 rad(3).

 

figura b); angolo = 90° = pigreco/2 rad.

Arco = raggio * angolo = 4 * pigreco/2 = 2 pigreco; (lunghezza arco);

Lato = radice(4^2 + 4^2) = 4 * radice(2);

Perimetro = Arco + Lato = 2 pigreco + 4 rad(2)

Area settore = arco * raggio / 2 = 2 pigreco * 4 / 2 = 4 pigreco;

Area triangolo rettangolo = 4 * 4 / 2 = 8;

area parte colorata = 4 pigreco - 8.

 

c) 45° = 90° / 2 = pigreco/4 rad;

Arco = raggio * angolo = 8 * pigreco/4 = 2 pigreco;

Lato1 = 8 * sen45° = 8 * rad(2) /2 = 4 rad(2); (verticale);

Lato 2 =  8 - 8 rad(2);(orizzontale)

Perimetro = 2 pigreco + 4 rad(2) + 8 - 8 rad(2) = 2 pigreco + 8 - 4 rad(2)

Area settore = 2 pigreco * 8 / 2 = 8 pigreco;

Area triangolo = 4 rad(2) * 4 rad(2) / 2 = 16 * 2 / 2 = 16;

area parte colorata =8 pigreco - 16.

 

figura d)

Arco =  angolo * raggio  = 2 pigreco;

raggio= 12;

Area settore = Arco * raggio / 2 = 2 pigreco * 12 / 2 = 12 pigreco

Angolo = arco / raggio;

Angolo = 2 pigreco  /12 = pigreco/6 rad; (30°),

Lato verticale, altezza triangolo:

h = 12 * sen(pigreco/6) = 12 * 0,5 = 6;

base = 12 * cos(pigreco/6) = 12 * rad(3) /2 = 6 * rad(3);

Area triangolo colorato = 6 rad(3) * 6 / 2 = 18 rad(3)

Perimetro triangolo = 12 + 6 rad(3) + 6 = 18 + 6 rad(3).

@licealeperscelta 

ciao, una bella fatica... troppi! Mai più.

 

 

Per figure, nomi e simboli mi riferisco all'articolo al link
http://it.wikipedia.org/wiki/Segmento_circolare
---------------
Le figure del tuo esercizio chiedono perimetro e area di
a) segmento circolare con (R, θ) = (12, 60°)
b) segmento circolare con (R, θ) = (4, 90°)
c) metà segmento circolare con (R, θ) = (8, 2*45°)
d) metà triangolo differenza fra settore e segmento circolare con (R, θ) = (12, 2*π/x) ho scritto "/x" perché la foto è incompleta.
---------------
Segmento circolare
* perimetro p = arco + corda = R*θ + 2*R*sin(θ/2) = (θ + 2*sin(θ/2))*R
* area A = ((θ - sin(θ))/2)*R^2
---------------
Metà segmento circolare
* perimetro p = (arco + corda)/2 + freccia =
= ((θ + 2*sin(θ/2))/2)*R + (R - R*cos(θ/2)) =
= (θ/2 + sin(θ/2) - cos(θ/2) + 1)*R
* area A = ((θ - sin(θ))/4)*R^2
---------------
Metà triangolo
Si tratta di un triangolo rettangolo d'ipotenusa R e cateti R*sin(θ/2) e R*cos(θ/2).
Questa non rientra fra le "figure non ordinarie", è ordinarissima.
==============================
Ti mostro una sola sostituzione, le altre te le fai da te.
a) segmento circolare con (R, θ) = (12, 60°)
* 60° = π/3
* p = (π/3 + 2*sin(π/6))*12 = 4*(3 + π) ~= 24.566
* area A = ((π/3 - sin(π/3))/2)*12^2 = 12*(2*π - 3*√3) ~=
---------------
b) segmento circolare con (R, θ) = (4, 90°)
* 90° = π/2
* p = (θ + 2*sin(θ/2))*R =
* area A = ((θ - sin(θ))/2)*R^2 =
---------------
c) metà segmento circolare con (R, θ) = (8, 2*45°)
* 2*45° = π/2
* p = (θ/2 + sin(θ/2) - cos(θ/2) + 1)*R =
* A = ((θ - sin(θ))/4)*R^2 =