Perfavore ho bisogno di aiutooo (esercizio con le disequazioni)

Puoi scrivere quindi:

100 < x² + 2*x + x/2 < 110

Ossia 100< x². + 5/2 * x < 110

Studiamo quindi le intersezioni della parabola x² + 5/2*x con le due rette orizzontali y=100 e y=110.

Facendo i conti, dobbiamo quindi trovare gli zeri delle due equazioni x²+5/2*x-100=0 e x²+5/2*x-110=0

Essendo x un numero naturale escludiamo le soluzioni con ascissa minore di zero, per cui risulta

X1=8.82

X2=9.31

Da cui puoi affermare che il numero è 9. 

Devi fare lo stesso per 120 e per 130, verificando se nell'intervallo [X1, x2] esiste uno o più numeri naturali 

La prima frase di Paolo è un po' strana, e anche straniante: è impossibile pensare un numero naturale eguale a zero perché lo zero è un'invenzione raffinata, tutt'altro che naturale; dai numeri naturali allo zero ci son voluti più di quarantamila anni.
La seconda frase è più umana: calcolando "k^2 + 2*k + k/2 = k*(k + 5/2) >= 7/2" si ottengono solo punti, sul primo quadrante del grafico di "y = f(x) = x*(x + 5/2)", di ascissa intera e ordinata intera solo se k è pari; in tal caso, se k = 2*n, si ha y = n*(4*n + 5).
Invece, se k = 2*n + 1, si ha y = 4*n^2 + 9*n + 7/2.
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Per il resto dell'esercizio (i quesiti sui tre intervalli da 100 a 110, 120, 130) serve il tratto positivo dell'inversa di y = f(x) in funzione dei valori limite detti da Filippo
* k(L) = (√(16*L + 25) - 5)/4
ESEMPI
* k(100) ~= 8.8
* k(110) ~= 9.3
* k(120) ~= 9.8
* k(130) ~= 10.2
quindi nei due primi intervalli l'unico naturale è il NOVE, mentre nel terzo c'è anche il DIECI.

per n2^2+2n+n/2 compreso nel range 100 ÷ 110 

8,83 < n < 9,31

n = 9,00 ; n2^2+2n+n/2 = 103,50 

per n2^2+2n+n/2 compreso nel range 100 ÷ 120 

8,83 < n < 9,78

n = 9,00 ; n2^2+2n+n/2 = 103,50 

per n2^2+2n+n/2 compreso nel range 100 ÷ 130 

8,83 < n < 10,22

n = 9,00 ; n2^2+2n+n/2 = 103,50

n = 10,00 ; n2^2+2n+n/2 = 125,00