Si misura il periodo di un pendolo a in riva al mare, Si va poi al Gran Sasso (2912 s.l.m.). Si assuma RT = 6372 km, di quanto varia ripetendo la misura in cima alla montagna ? Supponiamo ora di voler ottenere la stessa variazione stando al mare cambiando la temperatura del pendolo. Sapendo che il coefficiente di espansione lineare `e λ = 1.2 × 10−5/◦C, di quanto deve cambiare la temperatura rispetto a quella iniziale ?
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Livello 0
* "RT = 6372 km" ≡ R = 6372000 m
* "λ = 1.2 × 10−5/◦C" ≡ λ = 12/(10^6 °C)
* "(2912 s.l.m.)" ≡ h = 2912 m
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Il periodo T di un pendolo semplice lungo L, che compie piccole oscillazioni (cioè tali che il valore in radianti della massima elongazione si possa confondere col suo seno entro i margini di precisione della situazione in cui si compiono le misure) soggetto all'accelerazione g, vale
* T = 2*π*√(L/g) = 2*π*√x
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"di quanto varia" se x varia di Δx?
* ΔT = 2*π*(√(x + Δx) - √x)
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Per ottenere un egual valore di ΔT variando o g o L occorre che le due variazioni generino il medesimo Δx cioè che
* L/(g + Δg) = (L + ΔL)/g ≡
≡ ΔL/L = - Δg/(g + Δg)
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La legge della variazione di g con l'altezza h slm è
* g(h) = G*M/(R + h)^2
da cui
* g(0) = G*M/(6372000)^2
* g(h) = G*M/(6372000 + 2912)^2
* Δg = g(h) - g(0) = G*M*(1/6374912^2 - 1/6372000^2)
* ΔL/L = - Δg/(g + Δg) = (g(0) - g(h))/g(0) = 1 - g(h)/g(0) =
= 1 - (6372000/6374912)^2 = 36249031/39687014656 ~= 0.00091
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NB: qui T sta per "temperatura" e non più per "periodo".
* ΔL/L = λ*L*ΔT/L = λ*ΔT = (12/10^6)*ΔT = 36249031/39687014656 ≡
≡ ΔT = x = 566391109375/7441315248 ~= 76.114 °C
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Genius I
