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[Risolto] pendenza

  

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In figura è rappresentata la curva $\Phi$, detta Folium di Cartesio, che ha equazione
$$
x^3+y^3-3 x y=0 .
$$
- Il punto $\left(1, \frac{1}{3}\right)$ non appartiene a $\Phi$, mentre il punto $\left(\frac{2}{3}, \frac{4}{3}\right)$ vi appartiene; il disegno non permette di verificare queste affermazioni, dimostrale algebricamente
- Mediante il software GeoGebra rappresenta graficamente $\Phi$ e $P(1,0.3473)$. Poi verifica se il punto $\mathrm{P}$ appartiene a $\Phi$
- Mostra che $\Phi$ ha un solo punto sull'asse delle $x$.

IMG 20231009 171821
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1

* folium: Φ(x, y) ≡ x^3 + y^3 - 3*xy = 0
* asintoto: t ≡ y = - (x + 1)
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Verifiche di appartenenza
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1) Φ(1, y) ≡ y^3 - 3*y + 1 = 0 ≡
≡ (y = - 2*cos(π/9) ~= - 1.879) ∪ (y = 2*sin(π/18) ~= 0.3473) ∪ (y = 2*cos(2*π/9) = 1.532)
CONTROPROVA nel paragrafo "Alternate forms: root of ..." al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%28y--2*cos%28%CF%80%2F9%29%29*%28y-2*sin%28%CF%80%2F18%29%29*%28y-2*cos%282*%CF%80%2F9%29%29
---------------
2) Φ(2/3, y) ≡ y^3 - 2*y + 8/27 = 0 ≡
≡ (y = - 2/3 - √(2/3) ~= - 1.483) ∪ (y = - 2/3 + √(2/3) ~= 0.1498) ∪ (y = 4/3 = 1.(3))
---------------
3) asse x ≡ y = 0 (ma anche: asse y ≡ x = 0)
* Φ(x, 0) ≡ x^3 = 0
* Φ(0, y) ≡ y^3 = 0
unico zero triplo nell'origine
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Risposte ai quesiti
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a) (1, 1/3) ∉ Φ: vedi sub 1).
b) (2/3, 4/3) ∈ Φ: vedi sub 2).
c) "Φ ha un solo punto sugli assi": vedi sub 3).
d1) (1, 0.3473) ∈ Φ: vedi sub 1).
d2) non uso GeoGebra, WolframAlpha ti va bene lo stesso?
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5Bx%5E3-3*xy%3D-y%5E3%2C%28x-1%29*%28y-2*sin%28%CF%80%2F18%29%29%3D0%5D

 

@exprof 👍👍👍



Risposta
SOS Matematica

4.6
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